Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

37
()()
()()(),(;).
()()
fbfa
Fxfxgxxab
gbga
−
′′′
=−∈
−
При этом
()0,()0,
FaFb
==
т. е.
()().
=
В силу теоремы Ролля
существует точка
(;)
ab
ξ
∈
такая , что выполняется условие
()0,
F
ξ
′
=
т. е. условие
()()
()()0,
()()
fbfa
fg
gbga
ξξ
−
′′
−=
−
откуда получаем , что
()()()
.
()()()
fbfaf
gbgag
ξ
ξ
′
−
=
′
−
Теорема доказана.
§ 5 . Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя
Раскрытие неопределённости вида
0
0
Будем говорить, что частное двух функций
()
,
()
fx
gx
определённое в
некоторой проколотой окрестности
0
()
Ua
точки
a
, представляет собой
неопределённость вида
0
,
0
если
lim()lim()0.
xaxa
fxgx
→→
==
Раскрыть эту неопределённость - это значит вычислить предел
()
lim
()
xa
fx
gx
→
(если он, конечно, существует ).
Аналогично вводится понятие неопределённости вида
0
0
при
0
xa
→+
(0),
xa
→−
при
(),
xx
→+∞→−∞
а также при
.
x
→∞
Справедливо следующее утверждение .
Теорема 1. Пусть
1) функции
()
fx
и
()
gx
определены в промежутке
(;],,;
abaRbR
∈∈
                                         37

                                        f (b) − f (a )
                F ′( x ) = f ′( x ) −                  g ′ ( x ) , x ∈( a ; b ) .
                                        g (b) − g (a )

При этом F ( a ) =0, F ( b ) =0, т. е. F ( a ) = F ( b ). В силу теоремы Ролля
существует точка ξ ∈ ( a ; b ) такая, что выполняется условие F ′ ( ξ ) = 0,
т. е. условие
                               f (b ) − f ( a )
                    f ′ (ξ ) −                  g ′ ( ξ ) = 0,
                               g (b ) − g ( a )
откуда получаем, что

                           f (b) − f ( a)   f ′ (ξ )
                                          =          .
                           g (b) − g (a )   g ′ (ξ )
   Теорема доказана.


       § 5 . Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя

                                                               0
                 Раскрытие неопределённости вида
                                                               0

                                                           f ( x)
  Будем говорить, что частное двух функций                        , определённое в
                                                           g ( x)
                                            0
некоторой проколотой окрестности U ( a ) точки a , представляет собой
                     0
неопределённость вида , если
                     0
                      lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0.
                          x→ a            x→ a



    Раскрыть эту неопределённость - это значит вычислить предел
      f ( x)
lim          (если он, конечно, существует).
x → a g ( x)

                                                                0
     Аналогично вводится понятие неопределённости вида            при
                                                                0
x → a +0 ( x → a −0) , при x → +∞( x → −∞) , а также при x → ∞.

   Справедливо следующее утверждение.

   Теорема 1. Пусть

  1) функции f ( x ) и g ( x ) определены в промежутке ( a ; b], a ∈ R , b ∈ R ;

Страницы