Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 34 стр.

                                        34

         y                                  f ( b) − f ( a )
                         f ′(ξ ) = tg α =
                                                 b −a
       f (b )




                                   α
       f (a )


                                                                      x

                    a        ξ                                 b
                                   Рис.4.2

                                                                      ξ −a
   Для любой точки ξ ∈ ( a ; b ) положим по определению θ =                  .
                                                                      b −a
Тогда θ ∈( 0 ; 1) и ξ = a +θ ( b −a ). Поэтому формулу Лагранжа можно
записать в виде
                  f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( a +θ ( b −a ) ) ( b −a ),    (4.5)
где 0 < θ < 1.

  Заметим, что формула (4.5) верна и в случае, когда a > b .

   Отметим ещё, что если в формуле (4.5) положить b −a = ∆ x , a = x ,
то получим формулу

                    f ( x +∆ x ) − f ( x ) = f ′ ( x +θ ∆ x ) ∆ x ,       (4.6)

где 0 < θ < 1.

   Легко видеть, что данная формула верна и для ∆ x < 0.

   Следствие 1. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке и во всех его
внутренних точках имеет производную, равную 0, то f ( x ) постоянна на
этом отрезке.