Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 32 стр.

                                                32
   Доказательство. Из второй теоремы Вейерштрасса следует, что на
отрезке [a ; b] существуют точки, в которых функция f ( x ) принимает
своё    наибольшее      и   своё    наименьшее    значения.     Пусть
m = min f , M = max f . Очевидно, что для ∀ x ∈[a ; b] выполняется
     [a ; b]      [a ; b]

неравенство m ≤ f ( x ) ≤ M .

   Возможны два случая.

     Если m = M , то функция f ( x )       постоянна на отрезке [a ; b],
 f ( x ) =m = M для ∀ x ∈[a ; b]. В этом случае f ′(ξ ) =0 для ∀ ξ ∈( a ; b) ,
и теорема доказана.

   Пусть теперь m < M . Поскольку f ( a ) = f ( b), то хотя бы одно из
значений m или M функция принимает во внутренней точке ξ
промежутка [a ; b]. Из теоремы Ферма следует, что f ′(ξ ) = 0, и теорема
доказана и в этом случае.
      Геометрическая иллюстрация теоремы Ролля приведена на рис. 4.1 –
касательная в точке (ξ ; f (ξ )) параллельна оси O x .

     y

                            f ′(ξ ) = 0




                                          y = f ( x)


                                                                 x

                 a              ξ                      b
                                          Рис. 4.1

   Теорема (Лагранж). Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a ; b]
и в каждой точке интервала ( a ; b ) имеет производную в широком смысле,
то между точками a и b найдётся точка ξ такая, что будет выполняться
равенство
                      f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b −a ).      (4.3 )