Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
9.
22
1
arcsin,,.
11
dx
yxydy
xx
′
===
−−
10.
22
1
arccos,,.
11
dx
yxydy
xx
′
==−=−
−−
11.
22
1
arctg,,.
11
yxydy
xx
′
===
++
12.
22
1
arcctg,,.
11
dx
yxydy
xx
′
==−=−
++
13.
sh,ch,ch.
yxyxdyxdx
′
===
14.
ch,sh,sh.
yxyxdyxdx
′
===
15.
22
1
th,,.
chch
dx
yxydy
xx
′
===
16.
22
1
cth,,.
shsh
dx
yxydy
xx
′
==−=−
Логарифмическая производная
Пусть функция
()
ux
дифференцируема в точке
00
,()0.
xux
>
В силу
непрерывности функции
()
ux
в точке
0
x
в некоторой окрестности
0
()
Ux
выполнено условие
()0,
ux
>
и потому в этой окрестности
определена функция
ln().
yux
=
Эта функция дифференцируема в точке
0
;
x
найдём её производную в этой точке. По формуле для производной
сложной функции получаем
1
(ln).
u
yuu
uu
′
′′′
===
Величина
0
0
()
()
ux
ux
′
называется логарифмической производной функции
()
ux
в точке
0
.
x
Дифференцирование показательно-степенных выражений
Пусть функции
()
ux
и
()
vx
дифференцируемы в точке
00
,()0.
xux
>
Тогда в некоторой окрестности
0
()
Ux
точки
0
x
определена функция
()()ln()
().
vxvxux
yuxe==
                                                21
                                  1                          dx
  9. y = arcsin x , y′ =                    , dy =                      .
                              1 −x      2
                                                 1 −x               2


                                   1                    dx
  10. y   = arccos x , y ′ = −           , dy = −             .
                                 1 −x  2
                                                      1 −x  2


                              1               dx
  11. y   = arctg x , y′ =         , dy  =         .
                            1 + x2          1 + x2
                                  1                  dx
  12. y   = arcctg x , y′ = −          , dy  = −          .
                              1 + x2              1 + x2
  13. y   =sh x , y′ = ch x , dy = ch x dx .

  14. y = ch x , y ′ = sh x , dy = sh x dx.
                         1            dx
  15. y = th x , y′ = 2 , dy = 2 .
                       ch x          ch x
                             1             dx
  16. y = cth x , y ′ = − 2 , dy = − 2 .
                          sh x           sh x


                        Логарифмическая производная

    Пусть функция u( x ) дифференцируема в точке x0 , u ( x0 ) >0. В силу
непрерывности функции u ( x ) в точке x0 в некоторой окрестности
U ( x0 ) выполнено условие u ( x ) >0, и потому в этой окрестности
определена функция y =ln u ( x ). Эта функция дифференцируема в точке
x0 ; найдём её производную в этой точке. По формуле для производной
сложной функции получаем
                                             1    u′
                              y′ = (ln u )′ = u′ = .
                                             u    u
                 u′( x0 )
    Величина              называется логарифмической производной функции
                 u( x0 )
u ( x ) в точке x0 .

      Дифференцирование показательно-степенных выражений


  Пусть функции u( x ) и v( x ) дифференцируемы в точке x0 , u ( x0 ) >0.
Тогда в некоторой окрестности U ( x0 ) точки x0 определена функция

                              y = u( x ) v ( x ) = ev ( x ) ln u ( x ) .

Страницы