Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
00
(),
xt
ϕ
=
и пусть
().
UV
ϕ
⊂
Тогда имеет смысл композиция
()(()),
htft
ϕ
=
tU
∈
При сделанных предположениях справедлива следующая
Теорема. Пусть функция
()
xt
ϕ
=
дифференцируема в точке
9
,
t
а
функция
()
yfx
=
дифференцируема в точке
00
().
xt
ϕ
=
Тогда сложная
функция
()(())
htft
ϕ
=
дифференцируема в точке
0
t
и для её производной
справедлива формула
00000
()(())()()().
htfttfxt
ϕϕϕ
′′′′′
==
Доказательство. Придадим аргументу функции
()
xt
ϕ
=
в точке
0
t
произвольное достаточно малое приращение
0.
t
∆≠
Тогда функция
()
xt
ϕ
=
получит некоторое приращение
00
()()
xttt
ϕϕ
∆=+∆−
(причём, возможно,
0
x
∆=
). Соответственно, функция
()
yfx
=
получит
в точке
0
x
некоторое приращение
,
y
∆
отвечающее данному приращению
,
x
∆
00
()().
yfxxfx
∆=+∆−
В силу дифференцируемости
()
fx
в точке
0
x
данное приращение можно
записать в виде
0
()(),
yfxxxx
α
′
∆=∆+∆∆
(2.1)
где
()0
x
α
∆→
при
0,(0)0.
x
α
∆→=
В силу непрерывности функции
()
xt
ϕ
=
в точке
0
t
выполнено условие
0
lim0.
t
x
∆→
∆=
Учитывая
непрерывность функции
()
x
α
∆
в точке
0,
x
∆=
получаем , что
0
lim()0.
t
x
α
∆→
∆=
Разделив равенство (2.1) на
,
t
∆
получим соотношение
0
()().
yxx
fxx
ttt
α
∆∆∆
′
=+∆
∆∆∆
Переходя в этом равенстве к пределу при
0,
t
∆→
получим , что
000
000
lim()limlim(())()()
ttt
yxx
fxxfxt
ttt
αϕ
∆→∆→∆→
∆∆∆
′′′
=+∆=+
∆∆∆
00000
00
lim()lim()()0()()().
tt
x
xfxttfxt
t
αϕϕϕ
∆→∆→
∆
′′′′′
+∆⋅=+⋅=
∆
                                                      16
x0 =ϕ (t0 ) , и пусть                 ϕ (U ) ⊂ V . Тогда             имеет           смысл   композиция
h (t ) = f (ϕ ( t )), t ∈U .

    При сделанных предположениях справедлива следующая

   Теорема. Пусть функция x =ϕ ( t ) дифференцируема в точке t9 , а
функция     y = f ( x ) дифференцируема в точке x0 =ϕ ( t0 ). Тогда сложная
функция h ( t ) = f (ϕ (t )) дифференцируема в точке t0 и для её производной
справедлива формула

                               h′( t0 ) = f ′ (ϕ ( t0 )) ϕ ′ (t0 ) = f ′( x0 ) ϕ ′ ( t0 ).

   Доказательство. Придадим аргументу функции x =ϕ ( t ) в точке t0
произвольное достаточно малое приращение ∆ t ≠0. Тогда функция
 x =ϕ ( t ) получит некоторое приращение ∆ x =ϕ ( t0 +∆ t ) −ϕ ( t0 )
(причём, возможно, ∆ x =0 ). Соответственно, функция y = f ( x ) получит
в точке x0 некоторое приращение ∆ y , отвечающее данному приращению
∆x ,
                       ∆ y = f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ).

В силу дифференцируемости f ( x ) в точке x0 данное приращение можно
записать в виде
                     ∆ y = f ′( x0 ) ∆ x +α ( ∆ x ) ∆ x ,        (2.1)

где α ( ∆ x ) → 0 при ∆ x → 0, α (0) = 0. В силу непрерывности функции
x =ϕ ( t ) в точке t0 выполнено условие lim ∆ x =0. Учитывая
                                                                            ∆t → 0

непрерывность функции α ( ∆ x ) в точке ∆ x =0, получаем, что
lim α ( ∆ x ) =0. Разделив равенство (2.1) на ∆ t , получим соотношение
∆t → 0



                                ∆y             ∆x           ∆x
                                   = f ′( x0 )    + α (∆ x)    .
                                ∆t             ∆t           ∆t

Переходя в этом равенстве к пределу при ∆ t → 0, получим, что

                ∆y                       ∆x                        ∆x
         lim          = f ′( x0 ) lim        + lim (α (∆ x )             ) = f ′( x0 )ϕ ′ (t0 ) +
         ∆t → 0 ∆ t               ∆t → 0 ∆ t     ∆t → 0             ∆t
                                       ∆x
             + lim α ( ∆ x ) ⋅ lim          = f ′( x0 )ϕ ′(t0 ) + 0 ⋅ϕ ′(t0 ) = f ′( x0 )ϕ ′(t0 ).
               ∆t → 0          ∆t → 0 ∆ t

Страницы