Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
представление (1.2). Считая , что
0,
x
∆≠
разделим равенство (1.2) на
.
x
∆
В результате получим соотношение
(),
y
x
α
∆
=+∆
∆
(1.6)
где
()0
x
α
∆→
при
0.
x
∆→
При
0
x
∆→
существует конечный предел
правой части равенства (1.6), равный
.
A
Поэтому при
0
x
∆→
существует
конечный предел и левой части равенства (1.6), также равный
.
A
По
определению этот предел равен
0
().
fx
′
Таким образом , у функции
()
fx
существует конечная производная в точке
0
,
x
причём
0
().
fxA
′
=
Достаточность. Пусть существует конечная производная
0
().
fx
′
Выберем
0
δ
>
достаточно малым, таким , чтобы в проколотой
окрестности
0
(0;)
U
δ
точки
0
x
∆=
была определена функция аргумента
x
∆
вида
.
y
x
∆
∆
Введём в рассмотрение функцию
0
()(),0||.
def
y
xfxx
x
αδ
∆
′
∆=−<∆<
∆
(1.7)
Заметим , что
000
00
lim()lim()()()0.
xx
y
xfxfxfx
x
α
∆→∆→

∆
′′′
∆=−=−=

∆

Умножив равенство (1.7) на
x
∆
и перенеся слагаемое
0
()
fxx
′
∆
в левую
часть получившегося равенства, получим соотношение
0
()
yfxx
′
∆=∆+
(),
xx
α
+∆∆
справедливое для
,0||.
xx
δ
∀∆<∆<
Если в данном
соотношении положить
0
(),
Afx
′
=
то оно совпадёт с равенством (1.2).
Поэтому функция
()
yfx
=
дифференцируема в точке
0
x
и
0
().
Afx
′
=
Теорема доказана.
Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и
непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть функция
()
yfx
=
дифференцируема в точке
0
.
x
Тогда существует
0
δ
>
такое, что для
,||,
xx
δ
∀∆∆<
справедливо
соотношение
000
()()()(),()0
yfxxfxfxxxxx
αα
′
∆=+∆−=∆+∆∆∆→
при
0.
x
∆→
Поэтому
0
00
limlim(()())0,
xx
yfxxxx
α
∆→∆→
′
∆=∆+∆∆=
                                               7
представление (1.2). Считая, что ∆ x ≠0, разделим равенство (1.2) на ∆ x .
В результате получим соотношение
                               ∆y
                                  = A +α ( ∆ x ),                    (1.6)
                               ∆x
где α ( ∆ x ) → 0 при ∆ x → 0. При ∆ x → 0 существует конечный предел
правой части равенства (1.6), равный A. Поэтому при ∆ x → 0 существует
конечный предел и левой части равенства (1.6), также равный A. По
определению этот предел равен f ′( x0 ). Таким образом, у функции f ( x )
существует конечная производная в точке x0 , причём f ′( x0 ) = A .

  Достаточность. Пусть существует конечная производная f ′( x0 ).
Выберем δ >0 достаточно малым, таким, чтобы в проколотой
                0
окрестности U (0; δ ) точки ∆ x =0 была определена функция аргумента
         ∆y
∆ x вида    . Введём в рассмотрение функцию
         ∆x

                                def     ∆y
                        α (∆ x) =          − f ′( x0 ) , 0 <| ∆ x | <δ .             (1.7)
                                        ∆x

                                             � ∆y           �
Заметим,       что     lim α ( ∆ x ) = lim �       − f ′( x0� ) = f ′( x0 ) − f ′( x0 ) =0.
                      ∆x→ 0           ∆ x→ 0
                                              � ∆x            �
Умножив равенство (1.7) на ∆ x и перенеся слагаемое f ′( x0 ) ∆ x в левую
часть получившегося равенства, получим соотношение ∆ y = f ′( x0 ) ∆ x +
 +α ( ∆ x ) ∆ x , справедливое для ∀ ∆ x , 0 <| ∆ x | <δ . Если в данном
соотношении положить A = f ′( x0 ), то оно совпадёт с равенством (1.2).
Поэтому функция y = f ( x ) дифференцируема в точке x0 и A = f ′( x0 ).
   Теорема доказана.

   Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и
непрерывна в этой точке.

   Доказательство. Пусть функция y =f ( x ) дифференцируема в точке x0 .
Тогда существует δ >0 такое, что для ∀ ∆ x , | ∆ x | <δ, справедливо
соотношение ∆ y = f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆ x +α ( ∆ x ) ∆ x , α ( ∆ x ) → 0
при ∆ x → 0. Поэтому

                     lim ∆ y = lim ( f ′( x0 ) ∆ x +α (∆ x ) ∆ x ) = 0,
                     ∆x→ 0      ∆x→ 0

Страницы