Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Ларин А.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
точке
a
понимается правая производная , а под производной в точке
b
−
левая производная .
Приведём пример вычисления производной .
Пример. Рассмотрим функцию
sin,().
yxDyR
==
Фиксируем
произвольную точку
xR
и придадим аргументу функции произвольное
приращение
0.
x
∆≠
Запишем соответствующее приращение функции в
точке
x
в виде
sin()sin2sincos().
22
xx
yxxxx
∆∆
∆=+∆−=⋅+
Используя данное представление для
y
∆
и первый замечательный
предел, получаем , что
00
sin
2
limlimcos()1coscos.
2
2
xx
x
yx
xxx
x
x
∆→∆→
∆


∆∆
=⋅+=⋅=

∆
∆


Таким образом ,
(sin)cos
xx
для любого
.
xR
Аналогично
устанавливается , что
(cos)sin
xx
=−
для любого
.
xR
Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции
Определение . Функция
(),
yfx
заданная в некоторой окрестности
0
()
Ux
точки
0
,
xR
∈
называется дифференцируемой в этой точке, если её
приращение
000
()(),,0,
yfxxfxxxxx
∆=+∆−∆=−∆≠
представимо в этой окрестности в виде
(),
yAxxx
∆=∆+∆∆
(1.2)
где
A
−
постоянная , а
()
x
α
∆−
функция аргумента
,
x
∆
бесконечно малая
в точке
0.
x
∆=
Замечание 1. Функция
()
x
∆
в точке
0,
x
∆=
вообще говоря, не
определена и её можно доопределить произвольным образом . Для
дальнейшего удобно положить
(0)0
=
так, чтобы
()
x
∆
была
непрерывной в нуле. После доопределения функции
()
x
∆
в точке
0
x
∆=
равенство (1.2) будет справедливо и для
0.
x
∆=
                                      5
точке a понимается правая производная, а под производной в точке
b − левая производная.
   Приведём пример вычисления производной.

   Пример. Рассмотрим функцию y =sin x , D ( y ) = R . Фиксируем
произвольную точку x ∈ R и придадим аргументу функции произвольное
приращение ∆ x ≠0. Запишем соответствующее приращение функции в
точке x в виде
                                              ∆x             ∆x
            ∆ y =sin ( x +∆ x ) −sin x = 2sin    ⋅ cos ( x +    ).
                                              2              2

Используя данное представление для ∆ y и первый замечательный
предел, получаем, что
                              �       ∆x                     �
                                � sin
            ∆y
                = lim �                2 ⋅ cos ( x + � ) = 1 ⋅ cos x = cos x .
                                                    ∆ x
       lim
      ∆x→ 0 ∆ x    ∆ x→ 0           ∆x                   �
                          �                          2 �
                            �        2                     �

Таким образом, ( sin x )′ = cos x для любого x ∈ R .             Аналогично
устанавливается, что ( cos x )′ = −sin x для любого x ∈ R .

   Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции


   Определение. Функция y = f ( x ), заданная в некоторой окрестности
U ( x0 ) точки x0 ∈ R , называется дифференцируемой в этой точке, если её
приращение
               ∆ y = f ( x0 +∆ x ) − f ( x0 ), ∆ x = x − x0 , ∆ x ≠ 0,

представимо в этой окрестности в виде

                           ∆ y = A ∆ x + α (∆ x ) ∆ x ,                  (1.2)

где A − постоянная, а α ( ∆ x ) − функция аргумента ∆ x , бесконечно малая
в точке ∆ x =0.

   Замечание 1. Функция α ( ∆ x ) в точке ∆ x =0, вообще говоря, не
определена и её можно доопределить произвольным образом. Для
дальнейшего удобно положить α (0) =0 так, чтобы α ( ∆ x ) была
непрерывной в нуле. После доопределения функции α ( ∆ x ) в точке
∆ x =0 равенство (1.2) будет справедливо и для ∆ x =0.

Страницы