ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
1. Методом математической индукции докажите справедливость равенств
для каждого натурального значения
:
n
а)
22222
123...(21)(41)/3;
nnn++++−=−
б)
2222121
1234...(1)(1)(1)/2;
nn
nnn
−−
−+−++−=−+
в)
111
....
1559(43)(41)41
n
nnn
+++=
⋅⋅−++
2. Методом математической индукции докажите справедливость следующих
неравенств для всех натуральных
1:
n
>
а)
135211
...;
2462
31
n
n
n
−
⋅⋅⋅⋅<
+
б)
11113
...;
12224
nnn
+++>
++
в)
11
1...2;
2
nn
n
<+++<
г)
1111
1....
223421
n
n
n
<+++++<
−
3. Доказать, что
2
111
arctgarctg...arctgarctg,.
2821
n
nN
nn
+++=∈
+
4. Доказать, что для любых
n
положительных чисел
1
,...,,
n
xx
удовлетво -
ряющих условию
1
...1,
n
xx
⋅⋅=
имеет место соотношение
12
....
n
xxxn
+++≥
5. Справедлива следующая теорема, принадлежащая Гурвицу :
Если
ξ
−
иррациональное число , и
5
c
≤−
любое положительное дейст-
вительное число , то существует бесконечно много рациональных чисел
h
k
та-
ких , что
2
1
||.
h
kck
ξ −<
3
1. Методом математической индукции докажите справедливость равенств
для каждого натурального значения n :
а) 12 + 2 2 +32 +... +(2 n −1) 2 = n (4 n 2 −1) / 3;
б) 12 −22 +32 −42 +... +( −1) n−1 n 2 = ( −1) n−1 n ( n +1) / 2;
1 1 1 n
в) + +... + = .
1⋅5 5 ⋅9 (4n −3) (4n +1) 4n +1
2. Методом математической индукции докажите справедливость следующих
неравенств для всех натуральных n >1:
1 3 5 2n −1 1
а) ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ < ;
2 4 6 2n 3n +1
1 1 1 13
б) + +... + > ;
n +1 n +2 2n 24
1 1
в) n < 1 + +... + <2 n;
2 n
n 1 1 1 1
г) < 1 + + + +... + n < n.
2 2 3 4 2 −1
3. Доказать, что
1 1 1 n
arctg + arctg + ... +arctg 2 = arctg , n ∈N .
2 8 2n n +1
4. Доказать, что для любых n положительных чисел x1 , ... , xn , удовлетво-
ряющих условию x1 ⋅ ... ⋅ xn =1, имеет место соотношение
x1 + x2 +... + xn ≥ n .
5. Справедлива следующая теорема, принадлежащая Гурвицу :
Если ξ − иррациональное число, и c ≤ 5 − любое положительное дейст-
h
вительное число, то существует бесконечно много рациональных чисел та-
k
ких, что
h 1
|ξ − | < 2 .
k ck
