Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 4 стр.

                                                  4
Если же c > 5 , то существует иррациональное число ξ , для которых указан-
ное неравенство выполняется только для конечного множества рациональных
      h
чисел .
      k
  Покажите, что для любых натуральных p и q выполняется неравенство

                                                  p     1
                                       | 2 −        | ≥ 2.
                                                  q    4q

  6. Равносторонние треугольники со сторонами 1,3,5, ... , выстроены в ряд
так, что их основания расположены на одной прямой и вплотную примыкают
друг к другу. Доказать, что вершины треугольников, противолежащие основа-
ниям, расположены на параболе.

  7. Установить взаимно-однозначное соответствие между точками интервала
(0; 1) и точками отрезка [0; 1].

  8. Последовательность {xn } определяется следующим образом:

                                       1     1               1
                               xn =        +     +... +           .
                                      1 ⋅ 2 2 ⋅3        n ( n +1)

     Найти lim xn .
            n→ ∞



  9. Доказать, что если k ∈(0;1), то lim [(n +1)k −n k ] =0.
                                               n→ ∞



  10. Найти пределы последовательностей

                       n                   n                1                 1
             xn =              , yn =             , zn =            +... +            .
                      n 2 +n             n 2 +1            n 2 +1            n 2 +n

                                                                      an
  11. Пусть a >1. Исследовать поведение отношения                        , k >0, при n → ∞.
                                                                      nk

                                1                                                         1
  12. Доказать, что lim n n . Установить справедливость оценки                    0