Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
21. Показать, что если положительная последовательность
{}
n
a
имеет пре-
дел (конечный или нет), то тот же предел имеет и последовательность
12
....
n
nn
baaa
=
22. Последовательность
{}
x
называется последовательностью с ограничен -
ным изменением, если существует число
C
такое, что для любого
nN
∈
вы -
полняется условие
1
1
||.
n
kk
k
xxC
+
=
−≤
∑
Доказать, что любая последовательность с ограниченным изменением сходится.
23. Существует ли предел
limsin
n
n
→∞
? Ответ обосновать.
24. Является ли точка
0
предельной точкой последовательности
sin
n
xnn
= ? Последовательности
2
3
1sin
n
xnn
=+
? Ответ обосновать.
25. Последовательность
{}
x
обладает свойством:
1
||
nm
xx
n
−>для любых
,,.
nmnmN
<∈
Доказать, что последовательность неограничена.
26. Последовательность
{}
x
задана следующим образом:
2
11
1
,
2
nnn
xxxx
+
==− при
1.
n
≥
Доказать, что
lim1.
n
n
nx
→∞
=
27. Пусть
11
1,(1),1.
kk
aakak
−
==+>
Вычислить
1
1
lim(1).
n
n
k
k
a
→∞
=
+
∏
28. Доказать неравенство
0
11
.
!!
n
k
e
knn
=
−<
⋅
∑
29. Используя неравенство из предыдущей задачи и учитывая тот факт, что 
                                                       6
  21. Показать, что если положительная последовательность {an } имеет пре-
дел (конечный или нет), то тот же предел имеет и последовательность

                                     bn = n a1 a2 ... an .

  22. Последовательность {xn } называется последовательностью с ограничен-
ным изменением, если существует число C такое, что для любого n ∈ N вы-
полняется условие
                                      n

                                     ∑| x
                                     k =1
                                                k +1   − xk | ≤C .

Доказать, что любая последовательность с ограниченным изменением сходится.

  23. Существует ли предел lim sin n ? Ответ обосновать.
                                 n→ ∞



  24.    Является ли точка                  0        предельной точкой последовательности
xn = n sin n ? Последовательности xn = 3 n 2 +1 sin n ? Ответ обосновать.

  25. Последовательность {xn } обладает свойством:

                                     1
                     | xn − xm | >     для любых n 1. Вычислить lim
                                                                       n→ ∞
                                                                              ∏ (1 + a
                                                                              k =1
                                                                                             ).
                                                                                         k


  28. Доказать неравенство

                                                 n
                                                       1      1
                                     e −∑                 <        .
                                                k =0   k!   n ⋅n !

  29. Используя неравенство из предыдущей задачи и учитывая тот факт, что

Страницы