Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
35. Пусть
θ
−
иррациональное число ,
01,
θ
<<
и
n
a
равно
0
или
смотря
по тому , равны между собой или же различны числа
[]
n
θ
или
[(1)].
n
θ
−
Пока-
зать, что
12
lim(...)/.
n
n
aaan
θ
→∞
+++=
(Указание: получить явное выражение для
).
n
a
36. Доказать, что если по крайней мере одна координата центра окружности
иррациональна, то на самой окружности не более двух точек с рациональными
координатами .
37. Функция
f
определена на симметричном промежутке
(;).
ll
−
Доказать,
что её можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций.
38. Доказать, что монотонная функция имеет не более чем счётное множест-
во точек разрыва.
39. Пусть
()
fx
и
()
gx
определены на всей числовой прямой и являются пе-
риодическими функциями . Известно, что
lim(()())0.
x
fxgx
→+∞
−=
Доказать, что
()().
fxgx
≡
40. Определим в промежутке
(0;1)
функцию
()
Rx
следующим образом: если
x
рационально и выражается несократимой дробью
,
p
q
то
1
();
Rx
q
=
для
x
ир -
рационального положим
()0.
Rx
=
Доказать, что
00
(0)(0)0
fxfx
+=−=
для
любого
0
(0;1).
x
∈
Исследовать функцию
()
Rx
на непрерывность.
41. Пусть
12
0,......
n
tttt
=−
десятичная запись числа
,01.
tt
≤<
Пусть, да-
лее,
12
......
k
nnn
<<<<−
некоторая подпоследовательность последователь-
ности натуральных чисел. Исследовать на непрерывность функцию
12
()0,.......
k
nnn
xtttt
=
42. Найти все непрерывные в промежутке
(;)
−∞∞
функции
(),
fx
удовле-
творяющие условию
()()(),
fxyfxfy
+=+
каковы бы ни были значения
x
и
.
y
43. Доказать, что для любой непрерывной функции
:[0;1][0;1]
f
→
(ото -
бражение
f
сюръективно) существует
0
[0;1]
x
∈
такая, что
00
()
fxx
=
(непод-
вижная точка отображения
f
). 
                                                8
  35. Пусть θ − иррациональное число, 0 <θ <1, и an равно 0 или 1, смотря
по тому, равны между собой или же различны числа [nθ ] или [( n −1)θ ]. Пока-
зать, что
                       lim (a1 + a2 +... + an ) / n = θ .
                          n→ ∞



(Указание: получить явное выражение для an ).

  36. Доказать, что если по крайней мере одна координата центра окружности
иррациональна, то на самой окружности не более двух точек с рациональными
координатами.

  37. Функция f определена на симметричном промежутке ( −l ; l ). Доказать,
что её можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций.

  38. Доказать, что монотонная функция имеет не более чем счётное множест-
во точек разрыва.

  39. Пусть f ( x ) и g ( x ) определены на всей числовой прямой и являются пе-
риодическими функциями. Известно, что lim ( f ( x ) − g ( x )) =0. Доказать, что
                                                      x → +∞
f ( x ) ≡ g ( x ).

  40. Определим в промежутке (0;1) функцию R( x ) следующим образом: если
                                                    p             1
x рационально и выражается несократимой дробью , то R( x ) = ; для x ир-
                                                    q             q
рационального положим R( x ) =0. Доказать, что f ( x0 +0) = f ( x0 −0) =0 для
любого x0 ∈(0;1). Исследовать функцию R ( x ) на непрерывность.

  41. Пусть t =0, t1 t2 ... tn ... − десятичная запись числа t, 0 ≤t <1. Пусть, да-
лее, n1

Страницы