Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 9 стр.

                                                      9
  44. Функция f ( x ) определена на полуоси [0; +∞) и равномерно непрерыв-
на на ней. Известно, что lim f ( x +n ) =0 (n − целое) для любого x ≥0. Дока-
                              n→ ∞

зать, что lim f ( x ) = 0 .
          x → +∞



   45. Если ограниченная монотонная функция f ( x ) непрерывна на интервале
( a ; b), конечном или бесконечном, то она равномерно непрерывна на ( a ; b).

  46. Пусть f ( x ) − непрерывная на ( a ; b) функция и x1 , x2 , x3 − любые точки
из этого интервала. Тогда существует точка ξ ∈( a ; b) такая, что

                                  1
                          f (ξ ) = ( f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 )).
                                  3

Доказать.

  47. Функция f ( x ) непрерывна на всей числовой прямой и периодична с пе-
риодом 2π . Доказать, что существует точка ξ такая, что f (ξ ) = f (ξ +π ).

  48. Исследовать на дифференцируемость функцию

                                             �       1
                                            � x sin , x ≠0,
                                                2

                                 f ( x) = �          x
                                             ��   0, x =0.

  49. Пусть
                                � g ( x ), x ≥a
                                     f ( x) = �
                                 � h ( x ), x 1
была

 1) непрерывна на всей числовой прямой;

 2) дифференцируема на всей числовой прямой.