Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 11 стр.

                                              11
 59. Доказать, что функция
                                        r
                                f (t ) =∑ pk (t ) eλk t ≠0,
                                       k =1

где pk (t ) − многочлены, λk ∈ R ( k =1,..., r ), имеет конечное число нулей на
действительной оси.

 60. Доказать, что многочлен

                                             x2      xn
                            Pn ( x ) =1 + x + +... +
                                             2!      n!
не имеет кратных корней.

  61. Найти многочлен наименьшей степени, принимающий максимальное зна-
чение 6 при x =1 и минимальное значение 2 при x =3.

  62. Пусть многочлен P ( x ) имеет только вещественные корни. Доказать, что
если a − кратный корень P ′( x ), то P( a ) =0.

 63. Пусть
                                c1         c
                              c0 + +... + n = 0.
                                2        n +1
Доказать, что многочлен c0 + c1 x +... +cn x n имеет хотя бы один действитель-
ный корень.

  64. Доказать, что для всякой совокупности действительных чисел
a0 , a1 , ... , an и любой точки x = x0 существует такой многочлен P ( x ) степени
n , что P ( k ) ( x0 ) =ak ( k =0,1,..., n ). Выразить коэффициенты этого многочлена
через числа ak .

 65. Пусть P( x ) − многочлен степени n и P( a ) ≥0, P′( a ) ≥0, ... , P ( n −1) ( a ) ≥
≥0, P ( n ) ( a ) >0. Доказать, что действительные корни уравнения P( x ) =0 (если
они существуют) не превосходят a.

 66. Найти все многочлены P( x ), удовлетворяющие тождеству

                          x P ( x −1) ≡( x −2) P( x ), x ∈ R .

 67. Найти все многочлены P( x ), удовлетворяющие тождеству

                     ( x −1) P( x +1) − ( x + 2) P ( x ) ≡0, x ∈ R .