Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 12 стр.

                                                  12
 68. Доказать, что ни для одного многочлена с целыми коэффициентами не
могут выполняться равенства P(7) =5, P (15) =9.

 69. Дан многочлен P( x ) с целыми коэффициентами, причём P(0) и P(1) −
целые нечётные числа. Доказать, что P ( x ) не имеет целых корней.

 70. Пусть P( x ) − целочисленный многочлен, то есть многочлен, принимаю-
щий при целых x целые значения. Пусть P( x ) принимает значение, равное 5, в
пяти целых точках. Доказать, что многочлен P( x ) не имеет целых корней.

 71. Пусть P( x ) − квадратный трёхчлен, 0 ≤P( −1) ≤1, 0 ≤P(0) ≤1, 0 ≤P(1) ≤1.
Доказать, что P( x ) ≤9 / 8 для любого x ∈[0 ; 1].

 72. Функция f ( x ) определена на всей оси и обладает следующим свойством :
при x ∈ R
                  f ( x +∆ x ) − f ( x ) = A ( x ) ∆ x + α ( x , ∆ x ),

где | α ( x , ∆ x ) | ≤ C | ∆ x |3 , C =const . Доказать, что f ( x ) = A x + B , A =const ,
B =const .

  73. Функция f ( x ) дифференцируема на отрезке [a ; b]. При переходе через
точку ξ ∈[a ; b] производная f ′( x ) меняет знак и f ′(ξ ) =0. Доказать, что су-
ществуют такие числа α , β ∈[a ; b], α < β , что f ( β ) − f (α ) =0.

 74. Функция ϕ ( x ) дифференцируема и удовлетворяет условию φ′( x ) =
 = F (φ( x )), где F ( x ) имеет производные всех порядков. Доказать, что функция
φ( x ) также имеет производные всех порядков.

 75. Функция f ( x ), определенная на [0; ∞), продолжается на всю ось по фор-
муле

                                       �          f ( x ), x ≥0,
                             �
                                       �
                             f ( x) = �     n

                                       �   ∑a     k   f ( −k x ), x <0.
                                       �   k =1



Доказать, что коэффициенты ak можно выбрать так, чтобы для любой функции

 f ( x ) ∈C n −1 ([0; ∞)) функция f ( x ) была n −1 раз непрерывно дифференцируе-
мой на всей оси.