Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
г)
3
tg
3
x
xx>+ при
0;
2
x
π
<<
д)
ln1
xx
≤−
при
x
>
84. Пусть
0,01.
x
α
><<
Доказать неравенство
1.
xx
α
αα
−≤−
85. Исследовать на экстремум в точке
0
x
=
функции :
а)
2
sin(1/),0,
()
0,0.
xxx
fx
x
≠
=
=
б)
2
(1sin(1/)),0,
()
0,0.
xxx
fx
x
+≠
=
=
86. Опираясь на формулу Тейлора, показать, что для больших положитель-
ных корней уравнения
tg1
xx
=
справедлива формула
3
1
(),.
xnOnnN
n
π
π
−
=++∈
87. Доказать, что большие положительные корни уравнения
tg
xx
=
даются
асимптотической формулой
5
3
121
(),
3
xOµµ
µµ
−
=−−+
где
1
(),.
2
nnN
µπ=+∈
88. Пусть
(0;).
x
π
∈
Показать, что
n
−
я итерация синуса
11
sin()sin(sin()),sin()sin
nn
xxxx
−
==
при возрастании
n
стремится к 0, причём имеет место предельное соотношение
limsin()1.
3
n
n
n
x
→∞
=
89. Пусть
()
()()()...(),()(0;1),
!
n
n
h
fxhfxhfxfxhh
n
θθθ
′
+=++++=∈ 
                                                     14
                  x3            π
    г) tg x > x +    при 0 < x < ;
                  3             2

     д) ln x ≤ x −1 при x >0.

 84. Пусть x >0, 0 <α <1. Доказать неравенство xα −α x ≤1 −α .

 85. Исследовать на экстремум в точке x =0 функции :

                       � x 2 sin (1/ x ), x ≠0,
     а) f ( x ) = �
                   �          0, x =0.

                      � x 2 (1 +sin (1/ x )), x ≠0,
     б) f ( x ) = �
                    �            0, x =0.

 86. Опираясь на формулу Тейлора, показать, что для больших положитель-
ных корней уравнения x tg x =1 справедлива формула
                                  1
                      x =π n +       + O ( n −3 ), n ∈ N .
                                 πn

  87. Доказать, что большие положительные корни уравнения tg x = x даются
асимптотической формулой
                                1 2 1
                          x =µ − −       +O ( µ −5 ),
                                µ 3 µ  3


              1
где µ =π ( n + ), n ∈ N .
              2

 88. Пусть x ∈(0; π ). Показать, что n − я итерация синуса

                           sin n ( x ) =sin (sinn −1 ( x )), sin1 ( x ) =sin x

при возрастании n стремится к 0, причём имеет место предельное соотношение

                                                  n
                                       lim          sin n ( x ) =1.
                                      n→ ∞        3

 89. Пусть
                                                      hn (n)
       f ( x +h ) = f ( x ) +h f ′( x ) +... +           f ( x +θ h ), θ =θ ( h ) ∈(0;1),
                                                      n!

Страницы