Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
76. Найти все определённые на действительной оси дважды дифференцируе-
мые функции
()
fx
такие, что
()()0
fxfx
′′′
=
для каждого
.
x
77. Дана функция
()([0;1]).
m
fxC∈
Известно, что ни одна из функций
()
k
fx
при
0,1,...,1
km
=−
не принимает нулевого значения на отрезке
[0;1],
а
()
|()|
m
fxM
≥ при всех
[0;1].
x
∈
Доказать, что
[0;1]
max()/!.
x
fxMm
∈
≥
78. Пусть многочлен
()
Px
не имеет действительных корней . Доказать, что
многочлен
(2)(2)
()()
()......
2!(2)!
n
PxPx
Px
n
++++
также не имеет вещественных корней .
79. Пусть функция
()
fx
дифференцируема на отрезке
[0;1],(0)1,(1)
ff
′′
==
0.
=
Доказать, что ()
fcc
′
=
в некоторой точке
(0;1).
c
∈
80. Функция
()
fx
непрерывна на отрезке
[;]
ab
и дифференцируема на ин -
тервале
(;).
ab
Известно, что
()()
fafb
≤
и при некотором
0
ε
>
неравенство
()()fxfx
ε
′
+<
выполнено для всех
(;).
xab
∈
Доказать, что
()
fx
ε
<
при
(;).
xab
∈
81. Пусть
()
()(),(0)0,(0)0
k
fxCRff
∞
∈==
и
()
()0
k
fx
≥
для всех
kN
∈
и
0.
x
>
Доказать, что
()0
fx
=
при
0.
x
>
82. Пусть функция
()
fx
трижды дифференцируема на
.
R
При этом функции
(),(),(),()
fxfxfxfx
′′′′′′
всюду положительны. Доказать, что существует та-
кое положительное число
,
a
что
2
()
fxax
> при любом
0.
x
>
83. Доказать неравенства
а)
2
sin
xx
π
>
при
0;
2
x
π
<<
б)
2
cos1
2
x
x >−
при
0;
x
>
в)
3
sin
6
x
xx>−
при
0;
x
>
                                           13
 76. Найти все определённые на действительной оси дважды дифференцируе-
мые функции f ( x ) такие, что f ′( x ) f ′′( x ) =0 для каждого x .

  77. Дана функция f ( x ) ∈C m ([0;1]). Известно, что ни одна из функций f ( k ) ( x )
при k =0,1, ... , m −1 не принимает нулевого значения на отрезке [0;1], а
| f ( m ) ( x ) | ≥ M при всех x ∈[0;1]. Доказать, что max f ( x ) ≥ M / m ! .
                                                      x ∈[0;1]



  78. Пусть многочлен P( x ) не имеет действительных корней. Доказать, что
многочлен
                              P (2) ( x )        P (2 n ) ( x )
                     P( x ) +             +... +                +...
                                 2!               (2 n ) !
также не имеет вещественных корней.

 79. Пусть функция f ( x ) дифференцируема на отрезке [0;1], f ′(0) =1, f ′(1) =
 =0. Доказать, что f ′( c ) =c в некоторой точке c ∈(0;1).

   80. Функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a ; b] и дифференцируема на ин-
тервале ( a ; b). Известно, что f ( a ) ≤ f (b) и при некотором ε >0 неравенство
 f ( x ) + f ′( x ) <ε выполнено для всех x ∈( a ; b). Доказать, что f ( x ) <ε при
x ∈( a ; b).

 81. Пусть f ( x ) ∈C ∞ ( R ), f (0) =0, f ( k ) (0) =0 и f ( k ) ( x ) ≥0 для всех k ∈ N и
x >0. Доказать, что f ( x ) =0 при x >0.

  82. Пусть функция f ( x ) трижды дифференцируема на R . При этом функции
f ( x ), f ′( x ), f ′′( x ), f ′′′( x ) всюду положительны. Доказать, что существует та-
кое положительное число a , что f ( x ) >a x 2 при любом x >0.

 83. Доказать неравенства

                  2              π
     а) sin x >     x при 0 < x < ;
                  π              2

                   x2
     б) cos x >1 −    при x >0;
                   2

                      x3
     в) sin x > x −      при x >0;
                      6

Страницы