Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 15 стр.

                                                15
причём f ( n +1) ( x ) ≠0. Доказать, что
                                       1
                                         lim θ =
                                          .
                             h→ 0    n +1
 90. Установить интегрируемость функции R( x ) из задачи № 40.

  91. Доказать следующий критерий интегрируемости по Риману : для сущест-
вования интеграла от функции f ( x ) необходимо и достаточно, чтобы по задан-
ным числам ε >0 и σ >0 можно было найти такое δ >0, что, лишь только
все ∆ xi <δ , сумма ∑ ∆ xi′ длин тех промежутков, которым отвечают колеба-
                           i′
ния функции ωi′ ≥ε , сама была бы меньше σ .

  92. Воспользовавшись установленным в предыдущей задаче критерием, до-
казать следующее предложение.
       Если функция f ( x ) интегрируема в промежутке [a ; b], причём значения
её не выходят за пределы промежутка [c ; d ], в котором непрерывна функция
g ( y ), то сложная функция g ( f ( x )) также интегрируема в [a ; b].

 93. Найти значения интегралов ( m и n - натуральные числа) :

                       π                                 π
                                                                           2
                       2
                         sin (2 m −1) x                  2
                                                              � sin n x�
                  а)   ∫0 sin x         dx ; б)          ∫0 �� sin x��         dx .


  94. Пусть имеется непрерывная периодическая функция f ( x ) с периодом ω,
так что при любом x выполняется равенство f ( x +ω) = f ( x ). Тогда в любых
промежутках с длиной ω, равной периоду, интеграл от этой функции имеет
одно и то же значение,
                                a +ω                 ω

                                 ∫ f ( x ) dx
                                 a
                                                 = ∫f ( x ) dx .
                                                     0
      Доказать.

                                     2
                                         dx
 95. Учитывая тот факт, что          ∫x
                                     1
                                              = ln 2, доказать соотношение

                             � 1       1          1 �
                       lim �       +      + ... +      � =ln 2.
                       n→ ∞
                            � n +1   n +2         2n �

  96. Функция f ( x ) имеет на отрезке [0 ; 1] ограниченную производную. Дока-
зать, что существует постоянная C >0 такая, что для любого n ∈ N выполня-
ется неравенство