Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 16 стр.

                                                            16
                                   1                             n
                                                        1                     k        C
                               | ∫f ( x ) dx −
                                                        n
                                                             ∑ f (n) | ≤ n .
                                                             k =1
                                   0



 97. Доказать, что если f ( x ) ∈C 2 ([0 ; 1]), то
                           �   1
                                                    1   n −1
                                                                         k�           f (1) − f (0)
                    lim n �
                    n→ ∞       ∫f ( x ) dx −        n
                                                        ∑ f ( n� )                =
                                                                                            2
                                                                                                    .
                           �   0                        k =0              �

 98. Функция f ( x ) на отрезке [a ; b] имеет ограниченную и интегрируемую
производную. Положим
                         b
                                     b −a n             b −a
                  ∆n = ∫f ( x ) dx −
                                       n
                                           ∑
                                           k =1
                                                f (a +k
                                                          n
                                                             ).
                         a
     Найти lim n ∆n .
             n→ ∞



   99. Доказать, что для ограниченной и монотонной на отрезке [0 ; 1] функции
 f ( x ) существует постоянная C > 0 такая, что для любого n ∈ N выполняется
неравенство
                            1
                                         1 n    k    C
                          | ∫f ( x ) dx − ∑ f ( ) | ≤ .
                            0
                                         n k =1 n    n

  100. Функция f ( x ) определена на отрезке [0 ; 1] и убывает на нём. Доказать,
что для любого α ∈(0 ; 1) верно неравенство
                                       α                             1

                                       ∫f ( x ) dx
                                       0
                                                        ≥α           ∫f ( x ) dx .
                                                                     0


  101. Функции f ( x ) и g ( x ) интегрируемы по Риману на отрезке [a ; b]. Дока-
зать неравенство
                       b                                b                         b

                      | ∫f ( x ) g ( x ) dx | ≤ ∫( f ( x )) dx
                                                2                             2
                                                                                  ∫( g ( x))
                                                                                               2
                                                                                                   dx .
                       a                                a                         a


  102. Функция f ( x ) непрерывно дифференцируема на отрезке [0 ; 1] и удов-
летворяет условию f (1) − f (0) =1. Доказать, что

                                            1

                                            ∫( f ′( x))          dx ≥1.
                                                             2

                                            0


 103. Пусть