Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
109. Вычислить
2
cos
lim.
(1)
n
n
x
ndx
x
+∞
→∞
−∞
+
∫
110. Найти предел
1
11
limln(1).
n
n
dx
nx
→∞
+
∫
111. Функция
()
fx
непрерывна и неотрицательна на отрезке
[;].
ab
Дока-
зать, что
1
[;]
b
n
n
n
xab
a
fxdxfx
→∞
∈

=


∫
112. Пусть функции
()
x
ϕ
и
()
fx
непрерывны и положительны на отрезке
[;].
ab
Тогда
1
[;]
lim()(())max().
b
n
n
n
xab
a
xfxdxfx
ϕ
→∞
∈

=


∫
Доказать.
113. Пусть
1
sin(21)
(),
21
n
n
k
kx
Sx
k
=
−
=
−
∑
где
n
−
фиксировано,
(0;).
x
π
∈
Доказать, что функция
()
n
Sx
в указанном
промежутке положительна.
114. Доказать, что для непрерывных и неотрицательных функций
()
ux
и
(),
vx
удовлетворяющих условию
()()(),0,,
t
a
utCuxvxdxCta
≤+>>
∫
справедливо неравенство
()exp(()).
t
a
utCvxdx
≤
∫
115. Пусть
()
ux
−
положительная непрерывная функция, определённая на
промежутке
[0;),
+∞
причём 
                                                               18
 109. Вычислить
                                                         +∞
                                                             cos x
                                      lim
                                      n→ ∞
                                                     n    ∫(1 + x 2 )n dx .
                                                         −∞



 110. Найти предел
                                                         n
                                                 1                                 1
                                      lim
                                      n→ ∞       n       ∫ln (1 +
                                                         1                         x
                                                                                       ) dx .


  111. Функция f ( x ) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a ; b]. Дока-
зать, что
                                                                      1
                                  �    b
                                                              �       n

                                       ∫( f ( x ))                             = max f ( x ).
                                                         n
                       lim �                                 dx�
                       n→ ∞                                                        x∈[ a ;b ]
                                  �    a                        �

  112. Пусть функции ϕ ( x ) и f ( x ) непрерывны и положительны на отрезке
[a ; b]. Тогда
                                                                               1
                          �   b
                                                                     �         n

                              ∫ϕ ( x ) ( f ( x ))                                  = max f ( x ).
                                                              n
                     lim �                                          dx�
                     n→ ∞                                                               x ∈[ a ;b ]
                          �   a                                        �
      Доказать.

 113. Пусть
                                       sin (2 k −1) x    n
                                      Sn ( x ) = ∑    ,
                                  k =1     2 k −1
где n − фиксировано, x ∈(0 ; π ). Доказать, что функция Sn ( x ) в указанном
промежутке положительна.

 114. Доказать, что для непрерывных и неотрицательных функций u ( x ) и
v( x ), удовлетворяющих условию
                                             t

                   u (t ) ≤ C + ∫u ( x ) v ( x ) dx , C >0, t >a ,
                                             a
справедливо неравенство
                                                                           t

                                      u(t ) ≤ C exp( ∫v ( x ) dx ).
                                                                       a


 115. Пусть u( x ) − положительная непрерывная функция, определённая на
промежутке [0 ; +∞), причём

Страницы