Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
0
.
()
dx
ux
+∞
<∞
∫
Доказать, что
2
0
1
lim().
A
A
uxdx
A
→+∞
=+∞
∫
116. Пусть
2
2
2
2
1
cos,0,1,2,....
!4
n
n
Ittdtn
n
π
π
π
−

=−=


∫
Докажите , что
2
(),
nn
IP
π
=
где
n
P
−
алгебраический многочлен степени не
выше
с целыми коэффициентами . Выведите отсюда, что
2
π
(а следовательно,
и
π
) – иррациональное число .
117. Пусть
22
1
(),0,1,2,....
!
x
nt
n
x
Jxtedtn
n
−
=−=
∫
Докажите , что
()()(),
xx
nnn
JxAxeBxe
−
=+
где ,
nn
AB
−
алгебраические многочлены степени
n
с целыми коэффициента-
ми . Выведите отсюда, что
,
r
eQ
∉ если
,0.
rQr
∈≠
118. Пусть
22
1
()()cos,0,1,2,....
!
x
n
n
x
Ixxttdtn
n
−
=−=
∫
Докажите , что
()()cos()sin,
nnn
IxCxxSxx
=+
где ,
nn
CS
−
алгебраические многочлены степени не выше
n
с целыми коэф -
фициентами . Выведите отсюда, что
tg,
rQ
∉
если
,0.
rQr
∈≠
В заключение приведем образцы задач , часто встречающихся на экзамене по
математическому анализу в первом семестре.
1. Найти множество частичных пределов последовательности
12
sin,.
23
n
nn
xnN
n
π
−
=∈
+
                                                            19
                                                      +∞
                                                           dx
                                                      ∫u( x ) <∞.
                                                      0
                              A
                         1
Доказать, что lim
                A → +∞   A2   ∫u( x ) dx =+∞.
                              0


 116. Пусть
                                      π
                                                            n
                          1           2
                                          � π2   �2
                     In =
                          n!         ∫π �� 4 −t��               cos t dt , n =0,1, 2, ... .
                                     −
                                       2



Докажите, что I n = Pn (π 2 ), где Pn − алгебраический многочлен степени не
выше n с целыми коэффициентами. Выведите отсюда, что π 2 (а следовательно,
и π ) – иррациональное число.

 117. Пусть
                                           x
                              1
                         Jn =              ∫( x       −t 2 ) n e t dt , n =0,1, 2, ... .
                                                  2

                              n!           −x

Докажите, что
                                    J n ( x ) = An ( x ) e x + Bn ( x ) e −x ,

где An , Bn − алгебраические многочлены степени n с целыми коэффициента-
ми. Выведите отсюда, что e r ∉Q , если r ∈Q , r ≠0.

 118. Пусть
                                           x
                                1
                     I n ( x) =            ∫( x       −t 2 ) n cos t dt , n =0,1, 2, ... .
                                                  2

                                n!         −x

Докажите, что
                                  I n ( x ) =Cn ( x ) cos x + Sn ( x )sin x ,

где Cn , Sn − алгебраические многочлены степени не выше n с целыми коэф-
фициентами. Выведите отсюда, что tg r ∉Q , если r ∈Q , r ≠0.


  В заключение приведем образцы задач, часто встречающихся на экзамене по
математическому анализу в первом семестре.

  1. Найти множество частичных пределов последовательности
                             n −1     2π n
                        xn =      sin      , n ∈N .
                             n +2      3

Страницы