Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 17 стр.

                                                 17
                                            1�
                                              , x ≠0,
                                             � sin
                            f ( x) = �      x
                                       �� 0, x =0.
      Доказать, что существует постоянная C > 0 такая, что
                                    x
                                | ∫f (t ) dt | ≤ C x 2 , | x | ≤1.
                                    0


                                                                                1

 104. Функция f ( x ) непрерывна на отрезке [0 ; 1], причём                     ∫f ( x ) dx >0.
                                                                                0
                                                                                                  До-

казать, что существует отрезок [a ; b] ⊂ [0 ; 1], на котором f ( x ) >0.

  105. Пусть функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a ; b] и для любых x1 и x2
из [a ; b] справедливо неравенство f (( x1 + x2 ) / 2) ≤ ( f ( x1 ) + f ( x2 )) / 2. Тогда
                 a +b                           f ( a ) + f (b)
                                         b
                f(    ) (b −a ) ≤ ∫f ( x ) dx ≤                 (b −a ).
                   2              a
                                                        2
        Доказать.

  106. Доказать, что для непрерывно дифференцируемой на отрезке [ a ; b]
функции f ( x )
                                                             b
                                                 4
                           max | f ′( x ) | ≥
                           x ∈[ a ; b ]       (b −a ) 2      ∫| f ( x) | dx ,
                                                             a
если f ( a ) = f (b) =0.

  107. Пусть функция f ( x ) дифференцируема на отрезке [a ; b], причём f ( a ) =
= f (b) =0. Тогда на отрезке [a ; b] существует по крайней мере одна точка ξ , в
которой выполняется неравенство

                                                         b
                                                4
                               | f ′(ξ ) | ≥
                                             (b −a ) 2   ∫f ( x) dx .
                                                         a
       Доказать.

 108. Функция f ( x ) непрерывна на [a ; b] и для любого отрезка [α ; β ] ⊂ [a ; b]
имеет место неравенство
                                β

                               | ∫f ( x ) dx | ≤ M | β −α |1 +δ ,
                                α
где M , δ − некоторые положительные постоянные. Доказать, что f ( x ) =0 на
[a ; b].