Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
51. Пусть функция
()
fx
определена на отрезке
[;]
ab
и для любых
1
[;]
xab
∈
,
2
[;]
xab
выполняется неравенство
1212
|()()|||,,1.
fxfxKxxKconst
α
α
−≤−=>
Тогда
()
fxconst
=
на отрезке
[;].
ab
Доказать.
52. Пусть функция
()
fx
дважды дифференцируема на промежутке
[0;),lim()0,|()|1.
x
fxfx
→+∞
′
∞=≤
Тогда
lim()0.
x
fx
→+∞
′
=
Доказать.
53. Доказать, что если для непрерывной в точке
0
x
функции
()
fx
существует
0
0
lim(),
xx
fxA
→+
′
=
то существует и
0
()
fxA
+
′
=
(то есть производная справа в точ-
ке
0
x
также существует и равна
A
).
54. Известно, что функция
()
fx
непрерывна на отрезке
[0;1]
, дифференци -
руема на интервале
(0;1),(0)4,(1)2,()2.
fffx
′
==≥−
Доказать, что
()
fx
−
линейная функция.
55. С помощью метода математической индукции доказать, что для любых
значений
n
многочлен
2
()1...
2!!
n
n
xx
Pxx
n
=++++
не может иметь более одного действительного корня (точнее, имеет место сле-
дующий факт : при
2
nm
=
многочлен
()
n
Px
не имеет действительных корней ,
а при
21
nm
=+
имеет ровно один действительный корень).
56. Пусть
()
fx
- многочлен
n
−
ой степени, имеющий
n
различных вещест-
венных корней , а
()
fx
′
−
его производная. Составим разности между каждым
из корней уравнения
()0
fx
=
и каждым из корней уравнения
()0.
fx
′
=
Вы-
числить сумму величин , обратных полученным разностям.
57. Пусть функция
()
fx
непрерывна на отрезке
[0;1]
и дифференцируема на
интервале
(0;1).
Доказать, что если
(0)(1)0,
ff
==
то
()()
fxfx
′
=
в некото -
рой точке
(0;1).
x
∈
58. Сколько действительных корней имеет многочлен
2
()1...?
2
n
n
xx
Pxx
n
=++++ 
                                         10
 51. Пусть функция f ( x ) определена на отрезке [a ; b] и для любых x1 ∈[a ; b] ,
x2 ∈[a ; b] выполняется неравенство
                | f ( x1 ) − f ( x2 ) | ≤ K | x1 − x2 |α , K =const , α >1.
Тогда f ( x ) =const на отрезке [a ; b]. Доказать.

  52.    Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема на промежутке
[0; ∞), lim f ( x ) =0, | f ′( x ) | ≤1. Тогда lim f ′( x ) =0. Доказать.
            x → +∞                        x → +∞



  53. Доказать, что если для непрерывной в точке x0 функции f ( x ) существует
 lim f ′( x ) = A , то существует и f +′ ( x0 ) = A (то есть производная справа в точ-
x → x0 +0

ке x0 также существует и равна A ).

 54. Известно, что функция f ( x ) непрерывна на отрезке [0;1] , дифференци-
руема на интервале (0;1), f (0) =4, f (1) =2, f ′( x ) ≥−2. Доказать, что f ( x ) −
линейная функция.

  55. С помощью метода математической индукции доказать, что для любых
значений n многочлен
                                         x2      xn
                        Pn ( x ) =1 + x + +... +
                                         2!      n!
не может иметь более одного действительного корня (точнее, имеет место сле-
дующий факт : при n =2 m многочлен Pn ( x ) не имеет действительных корней,
а при n =2 m +1 имеет ровно один действительный корень).

  56. Пусть f ( x ) - многочлен n − ой степени, имеющий n различных вещест-
венных корней, а f ′( x ) −его производная. Составим разности между каждым
из корней уравнения f ( x ) =0 и каждым из корней уравнения f ′( x ) =0. Вы-
числить сумму величин, обратных полученным разностям.

  57. Пусть функция f ( x ) непрерывна на отрезке [0;1] и дифференцируема на
интервале (0;1). Доказать, что если f (0) = f (1) =0, то f ′( x ) = f ( x ) в некото-
рой точке x ∈(0;1).

  58. Сколько действительных корней имеет многочлен


                                           x2      xn
                          Pn ( x ) =1 + x + +... +    ?
                                           2       n

Страницы