Задачи и упражнения по математическому анализу. Ларин А.А - 5 стр.

                                                      5
                          cn
  13. Доказать , что lim     =0.
                     n→ ∞ n!



  14. Пусть даны два числа a и b . Положим x0 =a , x1 =b , а последующие
значения xn определим равенством xn =( xn −2 + xn −1 ) / 2, n ≥2. Доказать, что
предел последовательности {xn } существует и равен ( a +2b) / 3.

  15. Доказать сходимость и найти предел последовательности

      а) an +1 =( an + A) / 4, a1 =0 ;

      б) an +1 =(2 an + M / an2 ) / 3, a1 = M >0.

  16. Пусть c >0. Определим последовательность {xn } так: x1 = c , x2 =
= c + c , и, вообще, xn = c + c +... + c . Доказать, что предел {xn } су-
ществует, и вычислить его.

  17. Показать, что если последовательность {xn } имеет предел, конечный или
бесконечный,      то       тот же предел   имеет и        последовательность
bn =( x1 +... + xn ) / n .

  18. Пусть даны m положительных чисел a1 , ..., am . Обозначая через A наи-
большее из них, доказать, что

                             lim        n
                                            a1n +a2n +... +ann = A .
                             n→ ∞



  19. Пусть p1 , ..., pl , a1 , ..., al − произвольные положительные числа. Тогда

                            lim     n
                                            p1 a1n + p2 a2n +... + pl aln
                            n→ ∞



существует и равен наибольшему из чисел a1 , a2 , ... , al . Доказать.

  20. В обозначениях прежней задачи имеем

                         p1 a1n +1 + p2 a2n +1 +... + pl aln +1
                  lim                                           = max{ai }.
                  n→ ∞      p1 a1n + p2 a2n +... + pl aln         1 ≤i ≤l



Доказать.