Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Этот частотный критерий был разработан в 1932 г. американским ученым Найквистом, он позволяет
судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФХ разомкнутой системы.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
)(
)(
...
...
)(
1
10
1
10
sA
sB
asasa
bsbsb
sW
n
nn
m
mm
=
+++
+++
=
−
−
, mn ≥ .
Передаточная функция замкнутой АСР по каналу управления:
)()(
)(
)(/)(1
)(/)(
)(1
)(
)(
замк
sBsA
sB
sAsB
sAsB
sW
sW
sW
+
=
+
=
+
=
.
Характеристическое уравнение разомкнутой системы (n-го порядка) определено, как
0)(
=
sA
.
Характеристическое уравнение замкнутой системы (n-го порядка) выражается, как .0)()(
=
+
sBsA
Рассмотрим, что представляет из себя выражение 1 + W(s):
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
1)(1
разом
замк
sH
sD
sD
sA
sBsA
sA
sB
sW ==
+
=+=+ , (6.51)
где )(),(
разомзамк
sDsD – характеристические полиномы, соответственно, замк-
нутой и разомкнутой АСР. Подставляя s = iω, получим
=
++ω+ω
++ω+ω
=ω
−
−
n
nn
m
mm
aiaia
bibib
iW
...)()(
...)()(
)(
1
10
1
10
)(
)()()(
ωϕ
ω=ω+ω=
i
eMiVU
–
АФХ разомкнутой системы (рис. 6.26).
Вектор
()
)(1
ω
+ iW , следовательно, включает в себя свойства замкнутой и
разомкнутой системы, и по тому, как ведет себя W(iω) относительно
(–1, i0) можно сделать вывод об устойчивости замкнутой системы.
В дальнейшем рассматривается АФХ, соответствующая положительным частотам.
Выделим три случая состояния равновесия разомкнутой системы: устойчива, нейтральна и неус-
тойчива.
1 случай– система в разомкнутом состоянии устойчива. Тогда изменение аргумента характери-
стического полинома разомкнутой системы согласно критерию устойчивости Михайлова будет равно
(6.48):
2
)(Arg
0
разом
π
=ω∆
∞=ω
=ω
niD
.
Для того, чтобы замкнутая система была устойчива, должно выполняться равенство (6.48):
2
)(Arg
0
замк
π
=ω∆
∞=ω
=ω
niD
.
Отсюда следует, что приращение аргумента вектора ))(1()(
ω
+
=
ω
iWiH равно нулю:
.0
22
)(Arg)(Arg)(Arg
0
разом
0
замк
0
=
π
−
π
=ω∆−ω∆=ω∆
∞=ω
=ω
∞=ω
=ω
∞=ω
=ω
nniDiDiH
(6.52)
Соотношение (6.52) означает, что для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы вектор
)(1 ω+ iW , начало которого находится в точке (–1, i0), а конец, скользя по АФХ разомкнутой системы, не
охватывал точку (–1, i0) при изменении ω от 0 до ∞ (рис. 6.27).
V
U
M(
ω
)
ϕ
(
ω
)
Рис. 6.26 АФХ
разомкнутой
си
с
т
е
мы

Страницы