Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если теперь устремить ∆t
i
→ 0, при этом t
i
→ τ; n → ∞;
),()(
~
);()(
~
τ−→−τ−δ→−δ twttwttt
ii
а ∆t
i
→
dτ, где τ – непрерывный параметр, показывающий сдвиг каждого импульса, то окончательно получаем:
∫
∞
τττ−=
0
.)()()( dxtwty (3.13)
Последнее уравнение называется интегралом Дюамеля (уравнением свертки), отражающим связь
между входом, выходом объекта и его весовой функцией.
По сути дела весовая функция является памятью объекта, которая показывает, как долго и как силь-
но влияет на объект импульсное возмущение, поданное на его вход в момент времени τ = 0.
Из физического смысла весовой функции верхний предел интегрирования может быть заменен на t,
так как невозможно представить реальную систему, в которой на выходную координату в настоящий
момент времени оказывают влияние возмущения, которые появляются в последующие моменты време-
ни.
Если произвести замену в формуле (3.13)
ξ
=
τ
=
t ,
ξ
=
τ
dd , то можно записать симметричную форму-
лу
∫
∞
ξξξ−=
0
.)()()( dwtxty (3.14)
Если для представления входного сигнала использовать не формулу (2.26), а (2.27), то интеграл
Дюамеля записывается через переходную функцию:
τ
τ
τ
τ−+=
∫
d
d
dx
ththxty
t
0
)(
)()()0()(
, (3.15)
или
.)(
)(
)()0()(
0
∫
ττ
τ
τ−
+=
t
dh
d
tdx
thxty
3.8 Преобразование Лапласа
Основным математическим аппаратом, который используется в теории автоматического управления,
является специальный метод прикладного анализа, так называемый операционный метод, в основе
которого лежит функциональное преобразование Лапласа.
3.8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s)
другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением
∫
∞
−
==
0
)()()}({ dtetxsxtxL
st
, (3.16)
где x(t) – оригинал функции; x(s) – изображение по Лапласу функции x(t); s – комплексная переменная
s = α + iω.
Формула (3.16) определяет прямое преобразование Лапласа. Возможно и так называемое обратное
преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал. Оно определяется соотношени-
ем
∫
ω+
ω−
−
π
==
ic
ic
st
dsesx
i
txsxL )(
2
1
)()}({
1
, (3.17)
где с – абсцисса сходимости функции x(s).

Страницы