Основы теории автоматического управления - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

С Элементы с зоной нечувствительности.
11 МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
При исследованиях нелинейных систем широко используется метод фазового пространства, отно-
сящийся к группе графоаналитических методов, описывающих поведение систем при помощи нагляд-
ных геометрических представлений – фазовых портретов. Применительно к линейным системам этот
метод рассмотрен в разделе 6.3.
11.1 Основные понятия
Основным понятием метода является понятие фазового пространства, под которым понимается
пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие
мгновенное состояние системы, называемые фазовыми координатами.
Метод фазового пространства применим как для линейных, так и для нелинейных систем. Послед-
ние в общем случае описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений вида:
=
=
=
,),,,(
)(
...
;),,,(
)(
;),,,(
)(
21
212
2
211
1
nn
n
n
n
yyyf
dt
tdy
yyyf
dt
tdy
yyyf
dt
tdy
K
K
K
(11.1)
где
n
yyy ,,,
21
K – фазовые координаты:
t
– время;
n
fff ,,,
21
K – нелинейные функции.
Фазовые координаты
n
yyy ,,,
21
K могут иметь любой физический смысл – температура, концентра-
ция и др., но обычно в качестве них выбирают выходную переменную и ее )1( −n производную, т.е.
)()(,),()(),()(
)1(
21
tytytytytyty
n
n
−
=
′
== K .
Наибольшее распространение метод фазового пространства получил при исследовании систем вто-
рого порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. Система дифференциальных
уравнений (11.1) для системы второго порядка запишется в виде:
=
=
.),(
)(
;),(
)(
212
2
211
1
yyf
dt
tdy
yyf
dt
tdy
(11.2)
Из этой системы получают уравнение, описывающее фазовый портрет. Для этого необходимо ис-
ключить из рассмотрения время, в результате чего получают следующее уравнение
)211
212
1
2
,(
),(
yyf
yyf
dy
dy
=
, (11.3)
решение которого дает семейство интегральных кривых на фазовой плоскости, являющихся фазовыми
траекториями системы.
11.2 Фазовые портреты нелинейных систем
Фазовые портреты нелинейных систем второго порядка определяются решением дифференциаль-
ного уравнения (11.3), которое в данном случае является нелинейным, что и обуславливает характерные
особенности этих траекторий.
Линейная система имеет единственное состояние равновесия, определяемое (11.3), и характер осо-
бой точки полностью определяет поведение системы при любых отклонениях от состояния равновесия.
В нелинейной системе состояний равновесия может быть много, следовательно и особых точек также
много, но их характер определяет поведение фазовых траекторий только вблизи них. Так, на рис. 11.1
изображен типичный фазовый портрет нелинейной системы.

Страницы