Основы теории автоматического управления - 199 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если рассматривать те же самые начальные условия, но для случая, представленного на рис. 11.2, б,
то говорят, что система устойчива "в малом" (особая точка – устойчивый фокус), неустойчива "в боль-
шом", режим автоколебаний неустойчивый.
а)
б)
устойчивый
неустойчи-
вый
y
2
y
2
y
1
y
1
Рис. 11.4 Фазовый портрет системы:
а – полуустойчивый предельный цикл; б – с двумя предельными циклами
Если начальные условия таковы, что одна фазовая траектория "наматывается" на предельный цикл,
а другая – "сматывается", то система является неустойчивой и "в малом", и "в большом". В этом случае
предельный цикл и соответственно режим автоколебаний называется полуустойчивым (рис. 11.4, а).
Система может иметь не один, а несколько предельных циклов. Система, фазовый портрет которой изо-
бражен на рис. 11.4, б, имеет два предельных цикла, один из них – внутренний устойчивый, другой –
внешний неустойчивый. Состояние равновесия одно и неустойчивое.
Другим видом особых линий, которые встречаются в нелинейных системах, являются сепаратрисы
– кривые, разделяющие области фазового портрета с различным характером фазовых траекторий. Так, в
линейных системах второго порядка при рассмотрении фазового портрета типа седло асимптоты гипер-
бол
12
yy ω±= ,
20
2
/ aa=ω , 0
1
=a и являются как раз сепаратрисами.
Типичный фазовый портрет нелинейной системы изображен на рис. 11.5. Здесь имеются следую-
щие особые точки: точка А – устойчивый фокус, точка В – неустойчивый узел и точка С – седло. В со-
ответствии с этим сепаратрисы разделяют фазовый портрет на четыре области: 1 – затухающих колеба-
ний, 2 – автоколебаний, 3 и 4 – неустойчивых апериодических процессов.
y
2
B
A
C
1
2
3
4
y
1
Рис. 11.5 Фазовый портрет нелинейной системы
Нелинейные системы с элементами, имеющими зону нечувствительности или сухое трение, имеют
не один стационарный режим, а целую область, что на фазовой плоскости выражается "вытягиванием"
особой точки в особую линию (рис. 11.6).
В заключение следует сказать, что если известен фазовый портрет, то о системе известно все.
11.3 Методы построения фазовых портретов
Для построения фазовых портретов нелинейных систем используется ряд методов. Наибольшее
распространение получили нижеследующие методы.
11.3.1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ
В линейных системах интегрирование дифференциального уравнения фазовых траекторий (11.3) не
представляет трудностей. Для нелинейных систем эта задача существенно усложняется. Аналитическое
решение в большинстве случаев получить не удается, поэтому для построения фазовых портретов нели-
нейных систем применяют численное интегрирование уравнения (11.3). В ряде случаев предварительно
проводят качественное исследование изучаемой системы. Благодаря использованию методов качест-

Страницы