Основы теории автоматического управления - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

По первому уравнению нелинейной системы можно построить фазовый портрет правее линии II −
II. Для этого аналогичным образом получаем уравнение фазовых траекторий
2
1
2
20
ykB
dy
dy
yT −−=
,
откуда
kBy
dyy
Tdy
+
−=
2
22
01
.
Интегрирование последнего выражения, переписанного в виде
∫∫
+−
+
=
220
2
2
01
CdyT
kBy
dykB
Ty ,
дает фазовые траектории в виде логарифмических кривых
(
)
22201
ln CykBykBTy +−+= ,
которые изображены на рис. 11.7 правее линии II − II, где Cy >
1
.
Третье уравнение нелинейной системы позволяет записать уравнение фазовых траекторий левее
линии I − I. Это уравнение, полученное таким же образом, как и предыдущее, записывается в виде
2
1
2
20
ykB
dy
dy
yT +−=
, откуда
kBy
dyy
Tdy
−
−=
1
22
01
и, соответственно,
(
)
32201
ln CykBykBTy −+−−= .
Фазовые траектории на участке левее линии I − I, где Cy
<
1
, представляют собой логарифмические
кривые (рис. 11.7).
Таким образом, фазовые траектории получены для трех различных участков, которые необходимо
связать между собой, но метод непосредственного интегрирования уравнения фазовых траекторий без
дополнительных предложений этого сделать не позволяет, но тем не менее он дает полное представле-
ние о характере фазового портрета за исключением линий I − I и II − II.
11.3.2 МЕТОД ИЗОКЛИН
Метод изоклин имеет невысокую точность и используется для качественной оценки хода фазовых
траекторий.
Изоклиной называется кривая, представляющая геометрическое место точек, в которых касательные
ко всем интегральным кривым наклонены под одним и тем же углом к оси абсцисс.
Методика построения фазового портрета методом изоклин складывается из следующих этапов:
1 Построение изоклин;
2 Нанесение направления касательных к фазовым траекториям;
3 Определение характера искомого фазового портрета.
При использовании метода изоклин считается известным система дифференциальных уравнений
(11.2), описывающая исследуемую систему, для которой предстоит построить фазовый портрет. Следо-
вательно, известно уравнение фазовых траекторий (11.3)
(
)
()
211
212
1
2
,
,
yyf
yyf
dy
dy
=
. Для получения изоклин необ-
ходимо положить
const
1
2
=
dy
dy
, т.е.
(
)
()
const
,
,
211
212
=
yyf
yyf
. (11.4)
Задавая различные значения константы – )(C в (11.4), на фазовой плоскости строится семейство
изоклин, на которых под углом Carctg=
γ
к оси абсцисс наносятся стрелки и по ним определяется харак-
тер фазового портрета системы.
Допустим, что поле изоклин имеет вид, представленный на
рис. 11.8. Начальное положение изображающей точки выбирается произвольно на изоклине 0
1
=
C . Из

Страницы