Основы теории автоматического управления - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

этой точки
0
M проводится два отрезка: один под углом
11
arctgC
=
γ
, а другой под углом
22
arctgC
=
γ
до
пересечения их с соседней изоклиной
2
C .
Точки пересечения отрезков с изоклиной обозначаются
1
M
′
и
1
M
′
′
, соответственно. За точку фазо-
вой траектории принимается точка
1
M ,
y
1
y
2
C
1
= 0
M
1
M'
M"
M
M
2
1
1
0
C = 0
Рис. 11.8 Построение фазового портрета методом изоклин
лежащая между ними. Повторяя построения таким же образом, но из точки
1
M , т.е. проводя два отрезка
до соседней изоклины под углом
22
arctgC=γ и
33
arctgC
=
γ
, находится точка
2
M и т.д. Точность фазового
портрета зависит от числа изоклин, по которым он строится. Особым точкам на фазовой плоскости со-
ответствуют точки пересечения нескольких изоклин, так как в них направление фазовых траекторий
становится неопределенным.
Пример 11.2 Построить фазовый портрет нелинейной системы методом изоклин. Система описы-
вается нелинейным дифференциальным уравнением
()
01
2
2
2
=+−− y
dt
dy
yk
dt
yd
.
Производя замену )()(
1
tyty = , dtdyty /)(
2
= , дифференциальное уравнение второго порядка заменяется
системой дифференциальных уравнений первого порядка
()
−−=
=
.1
;
12
2
1
1
2
1
yyyk
d
t
dy
y
dt
dy
Уравнение фазовой траектории получается, если поделить второе уравнение на первое
()
2
1
2
2
1
1
2
1
y
y
yyk
dy
dy
−−=
,
а уравнение изоклин
()
C
y
y
yk =−
2
1
2
1
1 .
Задавая различные значения ;0(
0
=СС ;25,0
1
=
С ;5,0
2
=
С ;1
3
=
С ;2
4
=
С ;5
5
=С ;25,0
1
−=
−
С ;5,0
2
−
=
−
С
;1
3
−=
−
С ;2
4
−=
−
С )5
5
−=
−
С , для каждого из них по уравнению на фазовой плоскости строится изоклина
(на рис. 11.9 сплошные кривые).
Затем на каждой кривой наносятся стрелочки под углами Carctg
=
γ
;0(
o
=γ ;4
o
≈γ ;5,26
o
≈γ ;45
o
≈γ
;64
o
≈γ )89
o
≈γ к оси абсцисс.
По этим стрелочкам восстанавливаются искомые фазовые траектории. В данном случае получается
устойчивый предельный цикл, что соответствует автоколебаниям в системе. Другие фазовые траекто-
рии носят спиралевидный характер и "наматываются" на предельный цикл как снаружи, так и изнутри.

Страницы