Основы теории автоматического управления - 211 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Но, однако, уравнение первого приближения не всегда позволяет сделать правильный вывод об ус-
тойчивости движения. Условия, позволяющие дать правильные ответы и решить важную и принципи-
альную задачу теории автоматического управления об устойчивости движения были сформулированы
А.М. Ляпуновым и оформлены в виде трех теорем, именуемых первым методом Ляпунова.
Теорема 1 Если линейная система первого приближения устойчива, то соответствующее состояние
равновесия нелинейной системы также устойчиво по Ляпунову.
Теорема 2 Если линейная система первого приближения неустойчива, то соответствующее состоя-
ние равновесия нелинейной системы также неустойчиво по Ляпунову.
Теорема 3 Если линейная система первого приближения находится на границе устойчивости, то
судить об устойчивости исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя. В
этом случае необходимо рассматривать исходную нелинейную систему.
Эти теоремы позволяют судить по результатам исследования уравнений первого приближения об ус-
тойчивости в "малом" состояния равновесия исходной нелинейной системы.
В качестве примера рассмотрим нелинейную систему второго порядка, описываемую системой
двух дифференциальных уравнений первого порядка:
()
()
()
()
=
=
.,
;,
21
2
21
1
yyQ
dt
tdy
yyP
dt
tdy
(12.5)
Предметом исследования является определение устойчивости состояния равновесия
(
)
2010
, yy , т.е.
характера движения вблизи этого состояния, которое определяется как 0/)(/)(
21
== dttdydttdy .
Согласно первому методу Ляпунова система дифференциальных уравнений (12.5) заменяется ли-
неаризованной системой первого приближения. Для этого, если функции
()
21
, yyP ,
()
21
, yyQ являются
аналитическими, то их разлагают в ряд Тейлора и получают следующую систему уравнений
()
() ()
()
() ()
+∆+∆=
∆
+∆+∆=
∆
,
;
22211
2
12211
1
Ctybtyb
dt
tyd
Ctyatya
dt
tyd
(12.6)
где
()
1
21
1
,
y
yyP
a
∂
∂
=
2010
, yy
;
()
2
21
2
,
y
yyP
a
∂
∂
=
2010
, yy
;
()
1
21
1
,
y
yyQ
b
∂
∂
=
2010
, yy
;
()
2
21
2
,
y
yyQ
b
∂
∂
=
2010
, yy
;
1011
yyy
−
=
∆ ,
2022
yyy
−
=
∆
;
1
С ,
2
С – члены степени выше первой относительно
1
y ,
2
y . Система первого приближения получается из
(12.6) отбрасыванием нелинейных членов
1
C ,
2
C :
()
() ()
()
() ()
∆+∆=
∆
∆+∆=
∆
,
;
2211
2
2211
1
tybtyb
dt
tyd
tyatya
dt
tyd
(12.7)
Система дифференциальных уравнений (12.7) является линейной системой с постоянными коэффи-
циентами и исследуется на устойчивость любыми известными методами исследования устойчивости
линейных систем. В частности, характеристическое уравнение системы имеет вид
()
0
122121
2
=−++− babaSbaS
, (12.8)
и, следовательно, характер устойчивости решения определяется корнями
1
S и
2
S этого уравнения. Если
эти корни имеют отрицательную часть, то система первого приближения устойчива, следовательно, ус-
тойчива и исходная нелинейная система. Если же действительная часть положительна, то линейная сис-
тема неустойчива и исходная нелинейная система неустойчива. Если корни будут чисто мнимыми, то

Страницы