Основы теории автоматического управления - 213 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Функция V называется знакоопределенной в данной области, если она во всех точках этой области
вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде, кроме начала координат, не обращается в
нуль.
Примером знакоопределенной функции является функция вида
22
2
2
1
...
n
yyyV +++=
, которая при всех
вещественных значениях
n
yyy ...,,,
21
будет положительной
(
)
0>V и только, когда одновременно 0
1
=
y ,
0
2
=y ,
...,
0=
n
y она обращается в нуль
(
)
0
=
V . Эта функция называется знакоопределенной положи-
тельной в отличие от функции
(
)
22
2
2
1
...
n
yyyV +++−= , которая называется знакоопределенной отрицатель-
ной, так как для любых
n
yyy ...,,,
21
0<V и 0
=
V при 0
1
=
y , 0
2
=
y ,
...,
0
=
n
y .
Функция V называется знакопостоянной, если она в рассматриваемой области сохраняет один и тот
же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.
Примером знакопостоянной функции при 3
=
n является функция
(
)
2
3
2
21
yyyV ++= , которая обраща-
ется в нуль, помимо начала координат, еще на прямой
12
yy
−
=
и 0
3
=
y , во всех остальных точках она
положительна. Функция
21
cossin yyV += также является знакопостоянной, так как она при всех действи-
тельных
1
y и
2
y положительна или равна нулю.
Функция
V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат меня-
ет свой знак.
Примером знакопеременной функции является функция
21
yyV
+
=
. Эта функция положительна для
всех точек справа от прямой
21
yy −= и отрицательна слева от этой прямой.
12.3.2 ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА
Согласно второму методу Ляпунова в рассмотрение вводится специальная функция
(
)
n
yyyV ...,,,
21
,
заданная в фазовом пространстве, называемая функцией Ляпунова и обладающая следующими свойства-
ми:
1 Функция V непрерывна со всеми своими частными производными первого порядка в некоторой
открытой области, содержащей начало координат.
2 В начале координат функция
()
n
yyyV ...,,,
21
принимает нулевое значение, т.е. при 0
1
=
y , 0
2
=
y ,
...,
0=
n
y ,
()
0...,,,
21
=
n
yyyV .
3 Всюду внутри рассматриваемой области функция V является знакоопределенной, т.е. либо 0>V ,
либо 0<V .
Полная производная от функции Ляпунова по времени запишется в виде
....
2
2
1
1
dt
dy
y
V
dt
dy
y
V
dt
dy
y
V
dt
dV
n
n
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
(12.9)
Пусть рассматриваемая нелинейная система автоматического управления описывается системой
дифференциальных уравнений первого порядка в отклонениях всех переменных от их значений в уста-
новившемся процессе. Следовательно, для нелинейной системы n-го порядка эти уравнения будут:
()
()
()
()
()
()
=
=
=
,...,,,
...
;...,,,
;...,,,
21
212
2
211
1
nn
n
n
n
yyyF
dt
tdy
yyyF
dt
tdy
yyyF
dt
tdy
(12.10)
где функции
1
F ,
2
F , ... ,
n
F произвольны и содержат нелинейности любого вида, но всегда удовлетворя-
ют условию, что при 0...
21
==
=
=
n
yyy , 0...
21
=
=
=
=
n
FFF , так как в установившемся состоянии все от-
клонения переменных и их производных равны нулю по самому определению понятия этих отклонений.

Страницы