Основы теории автоматического управления - 214 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если теперь в производную от функции Ляпунова (12.9) подставить значения dtdy /
1
, dtdy /
2
,
... , dtdy
n
/ из системы уравнений рассматриваемой системы управления (12.10), то получим производную
от функции Ляпунова по времени в виде
....
2
2
1
1
n
n
F
y
V
F
y
V
F
y
V
dt
dV
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
=
(12.11)
Правые части уравнений (12.10) представляют собой заданные функции от отклонений
n
yyy ...,,,
21
.
Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама функция V , является
некоторой функцией отклонений, т.е.
()
yW
d
t
dV
=
, (12.12)
причем, так же как и функция V , эта функция W тождественно обращается в нуль при 0...
21
=
=
=
=
n
yyy .
В связи с этим к функции W (12.12) можно применять понятия знакоопределенности, знакопостоянства и
знакопеременности в некоторой области вокруг начала координат.
12.3.3 ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА
В основе второго метода Ляпунова лежит известная теорема Дирихле, согласно которой равновесие
устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум. А.М. Ляпу-
новым были сформулированы три теоремы: об устойчивости, об асимптотической устойчивости и о не-
устойчивости.
Теорема 1 Если существует знакоопределенная функция
()
n
yyyV ...,,,
21
, производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений, описывающих
нелинейную систему, или представляет собой знакопостоянную функцию противоположного с V знака,
или тождественно равна нулю, то нелинейная система устойчива.
Теорема 2 Если существует знакоопределенная функция
()
n
yyyV ...,,,
21
, производная которой по времени в силу дифференциальных уравнений, описывающих
нелинейную систему, представляет собой знакоопределенную функцию противоположного с V знака,
то нелинейная система асимптотически устойчива.
Теорема 3 Если существует какая-либо функция
(
)
n
yyyV ...,,,
21
, производная которой по времени в
силу дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, представляет собой знако-
определенную функцию, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат имеется
область, в которой знак функции V совпадает со знаком производной dtdV / , то состояние системы
0...
21
====
n
yyy неустойчиво.
Проиллюстрировать справедливость этих теорем можно на наглядных геометрических образах.
Пусть имеется некоторая нелинейная система третьего порядка, которая описывается системой диффе-
ренциальных уравнений в отклонениях от значений переменных в стационарном состоянии вида
(12.10):
()
()
()
()
()
()
=
=
=
.,,
;,,
;,,
3213
3
3212
2
3211
1
yyyF
dt
tdy
yyyF
dt
tdy
yyyF
dt
tdy
(12.13)
Координаты состояний равновесия определяются из системы алгебраических уравнений
(
)
(
)( )
0,,,,,,
321332123211
=
=
=
yyyFyyyFyyyF . (12.14)

Страницы