Основы теории автоматического управления - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

линейная система находится на границе устойчивости и сказать что-либо конкретное относительно ус-
тойчивости исходной нелинейной системы нельзя, так как неизвестно как ведут себя отброшенные не-
линейные члены. В этом случае необходимо рассматривать систему второго приближения. Если же ис-
следование этой системы не даст конкретного ответа, то рассматривается система третьего приближе-
ния и т.д.
Первый метод Ляпунова можно использовать и для исследования устойчивости движения. Если по-
следнее описывается дифференциальным уравнением (12.1), то для исследования устойчивости движе-
ния это уравнение необходимо линеаризовать путем разложения в ряд Тейлора в окрестности исследуе-
мого движения
()
ty
10
,
()
ty
20
, …,
()
ty
n0
, например, таким движением является гармонический сигнал –
синусоида. В результате линеаризации получают уравнение первого приближения, которое является
линейным уравнением с коэффициентами, зависящими от времени:
() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0...
01
1
1
=+
′
+++
−
−
tytAtytAtytAtytA
n
n
n
n
.
Пример 12.1 Исследовать на устойчивость систему автоматического регулирования с помощью
первого метода Ляпунова, если она описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
(
)
() () ()
()
() ()
+∆−=
∆
+−=
∆
.
;
2
22
2
211
1
tyty
dt
tyd
tytyty
dt
tyd
Прежде всего определяются состояния равновесия из системы уравнений 0//
21
=
= dtdydtdy , т.е.
=+−
=+−
.0
;0
2
22
211
yy
yyy
Система имеет два состояния равновесия. Первое – 0
10
=
y , 0
20
=
y ; второе –
10
y – любое, 1
20
=
y . Ис-
следуем на устойчивость первое состояние равновесия. Для этого линеаризуем исходную систему в ок-
рестности точки 0
10
=y , 0
20
=y и получим линейную систему первого приближения
(
)
()
()
()
−=
−=
.
;
2
2
1
1
ty
dt
tdy
ty
dt
tdy
Характеристическое уравнение этой системы:
(
)
01
2
=+S , его корни 1
21
−=
=
SS – отрицательные дей-
ствительные, следовательно, система первого приближения устойчива. Состояние равновесия исходной
нелинейной системы также устойчиво и представляет собой особую точку типа устойчивый узел.
12.3 Второй метод Ляпунова
А. М. Ляпунов предложил метод, позволяющий получить достаточные условия устойчивости нели-
нейных систем автоматического управления. Первоначально метод был разработан для исследования
локальной устойчивости, т.е. устойчивости в достаточно малой окрестности особых точек, в даль-
нейшем он был расширен и для исследования устойчивости "в большом". Этот метод получил назва-
ние второго метода Ляпунова. Для его изложения необходимы некоторые вспомогательные сведения,
приведенные ниже.
12.3.1 ПОНЯТИЕ О ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫХ, ЗНАКОПОСТОЯННЫХ
И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
Пусть имеется функция нескольких переменных
(
)
n
yyyVV ...,,,
21
=
, где
n
yyy ...,,,
21
являются прямо-
угольными координатами n-мерного фазового пространства. В каждой точке этого пространства функ-
ция V имеет некоторое определенное значение, в зависимости от того какие это будут значения вводят-
ся названия этой функции.

Страницы