Основы теории автоматического управления - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В случае асимптотической устойчивости изображающая точка не может остаться на одной из по-
верхностей, а пойдет внутрь вплоть до начала координат, где 0
321
=
=
=
yyy и
()
0,,
321
=yyyV .
Геометрическую иллюстрацию теоремы Ляпунова о неустойчивости удобно привести для случая
2=n на фазовой плоскости (рис. 12.4). Пусть функция
(
)
21
, yyV знакопеременная с линиями const
=
V , а
ее производная
()
21
,/ yyWdtdV = положительно определенная. При произвольных начальных условиях
фазовая траектория, направляясь в соответствии со свойствами (12.17), попадает в область, где
()
0,
21
>yyV и будет удаляться от начала координат.
Если же
()
21
, yyW является отрицательно определенной функцией, то фазовая траектория удаляется
от начала координат в область, где
()
0,
21
<
yyV .
В качестве примера проведем строгое доказательство теоремы I Ляпунова.
Зададим некоторое значение 0>ε и область значений вектора
(
)
n
yyyy ...,,,
21
=
, ограниченную вели-
чиной его нормы ε=y .
Пусть имеется положительно определенная функция
(
)
0>yV , точная нижняя грань значений кото-
рой при ε=y есть 0>α , т.е.
(
)
0inf >α=
ε=
yV
y
. (12.18)
Поскольку
()
00 =V , то из непрерывности определенно положительной функции
()
yV следует, что
можно взять такое значение 0>
δ
, чтобы
(
)
α
<
yV при
δ
<
y .
Предположим, что начальные условия лежат внутри области
δ
(подобрать их таким образом можно
всегда), т.е.
()
δ<
0
ty и, следовательно,
(
)()
α
<
0
tyV . Тогда для решения
(
)
ty при
0
tt > функция
(
)
(
)
tyV бу-
дет не возрастающей, так как по условию теоремы
(
)
0/
≤
=
yWdtdV . Таким образом, получаем, что
()() ()()
α<≤
0
tyVtyV . При этом неизбежно
(
)
ε
<
ty , так как, если бы было
()
ε>ty , то получилось бы
() ()
α=≥
ε=
yVyV
y
inf , что противоречит условию
(
)
(
)
(
)
(
)
α
<
≤
0
tyVtyV . Теорема доказана.
Если условия теоремы выполняются, то система устойчива. Но это не означает, что система не мо-
жет быть устойчивой и за пределами этих условий, все зависит от выбора функции Ляпунова V .
12.3.4 МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМ ЛЯПУНОВА
При заданных уравнениях системы регулирования можно подобрать несколько различных вариан-
тов функции
V , поскольку требуется только знакоопределенность ее и ее производной. Различные ва-
рианты функции
V , удовлетворяющие теореме, могут дать соответственно различные варианты усло-
вий устойчивости для одной и той же системы регулирования. При этом одни из них будут шире, дру-
гие уже, последние могут входить в первые как частный случай и т.д. От более или менее удачного под-
бора функции Ляпунова V будет зависеть большая или меньшая близость полученных достаточных ус-
ловий устойчивости к необходимым и достаточным, т.е. более или менее полный охват всей области
устойчивости данной системы. В большинстве технических задач вполне удовлетворяются только дос-
таточными условиями.
Методику применения теорем Ляпунова удобно рассматривать на примере устойчивости нелиней-
ных систем автоматического регулирования с одной однозначной нелинейностью. Структурная схема
такой системы изображена на рис. 12.5.
Пусть управляемый объект описывается в фазовом пространстве системой обыкновенных дифферен-
циальных уравнений второго порядка

Страницы