Основы теории автоматического управления - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Для определенности предполагается, что рассатриваемая система имеет только одно состояние рав-
новесия, совпадающее с началом координат 0
321
=
=
=
yyy .
В качестве функции Ляпунова рассматривается знакоопределенная положительная функция
()
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1321
,, yayayayyyV ++= , (12.15)
где
i
a , 3,2,1=i – произвольно заданные вещественные числа. Если теперь этой функции придавать не-
которые возрастающие постоянные значения 0 ,
1
C ,
2
C , ... , т.е.
0
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
=++ yayaya ;
1
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
Cyayaya =++
;
2
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
Cyayaya =++ ;
. . . ,
то первому из них в фазовом пространстве
321
yyy
−
−
соответствует точка 0
321
=== yyy , а остальным –
эллипсоиды, причем каждый последующий эллипсоид содержит внутри себя целиком предыдущий
(рис. 12.3), т.е. в силу однозначности функции V поверхности, соответствующие различным значениям
i
C , не пересекаются между собой, а составляют семейство вложенных друг в друга поверхностей, при-
чем меньшим значениям
i
C соответствуют внутренние поверхности, увеличение значений
i
C обознача-
ет переход к внешним поверхностям.
Производная от функции Ляпунова (12.15) по времени в силу системы дифференциальных уравнений
(12.13) согласно (12.11) запишется в виде
() ()
()()
.,,,,2
,,2,,2
32132133
2
3
32122
2
232111
2
1
yyyWyyyFya
yyyFyayyyFya
dt
dV
=+
++=
(12.16)
Пусть изображающая точка в начальный момент находится на поверхности
4
CV = (рис. 12.3). Гра-
диент функции V есть вектор, определяемый проекциями
i
yV
∂
∂
/ на оси координат, т.е.
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
321
,,grad
y
V
y
V
y
V
V .
Если теперь ввести в рассмотрение вектор )( yF с проекциями ,/,/,/
332211
dtdyFdtdyFdtdyF
=
=
=
то
этот вектор будет ни чем иным как вектором скорости изображающей точки
M
в фазовом пространстве
(рис. 12.3). Согласно (12.16) можно записать
)(grad)( yFVyW
d
t
dV
==
, (12.17)
где
),,(
321
yyyy = – вектор координат состояния системы. Таким образом, производная функции Ля-
пунова по времени, составленная в силу уравнений системы (12.13), представляет собой скалярное
произведение градиента этой функции на вектор фазовой скорости.
Вектор )(grad yV перпендикулярен к поверхности const
=
V (в частности, на рис. 12.3 к
4
CV
=
) и на-
правлен в сторону возрастания значения
V . Если производная
0/ >dtdV
, то, согласно (12.17), вектор фа-
зовой скорости
)( yF составляет с вектором )(grad yV острый угол, т.е. фазовая траектория пересекает по-
верхность
const=V в сторону увеличения значений )( yV .
Если же 0/ <dtdV , угол между )(grad yV и )( yF тупой и фазовая траектория идет в сторону уменьше-
ния значений )( yV . Таким образом, если 0/
<
dtdV , то изображающая точка переместится на внутрен-
нюю поверхность
3
C и, двигаясь далее, будет неограниченно приближаться к состоянию равновесия – на-
чалу координат фазового пространства и уже никак не сможет выйти за пределы тех эллипсоидов, в кото-
рые она проникла. Это и означает затухание всех отклонений
321
,, yyy
в переходном процессе с течением времени. Если
(
)
0,,
321
=
yyyW , то изображающая точка может остано-
виться на соответствующей поверхности. Такое перемещение является достаточным признаком устой-
чивости, т.е., если оно осуществляется, то устойчивость гарантируется.

Страницы