Основы теории автоматического управления - 219 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()()
2
2
222
1
2
111
1
21
1
21
C
CbB
C
CbBr +++>
. (12.26)
ЭТО И ЯВЛЯЕТСЯ ДОСТАТОЧНЫМ УСЛОВИЕМ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИ-
ВОСТИ РЕШЕНИЯ 0
1
=
z , 0
2
=
z , 0
=
σ
.
В УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕ ВОШЛИ НИКАКИЕ ПАРАМЕТРЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ХА-
РАКТЕРИСТИКИ )(σF . СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ОНИ СПРАВЕДЛИВЫ ПРИ ЛЮБОЙ ФОРМЕ НЕ-
ЛИНЕЙНОСТИ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕЙ ОБЩИМ ТРЕБОВАНИЯМ (12.21). ТАКИЕ УСЛОВИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ, КОТОРЫЕ НЕ ЗАВИСЯТ ОТ КОНКРЕТНОЙ ФОРМЫ НЕЛИНЕЙНОСТИ,
НАЗЫВАЮТ УСЛОВИЯМИ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ.
12.3.5 Методы построения функции Ляпунова
ОДНОЙ ИЗ ОСНОВНЫХ ПРОБЛЕМ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ПРАКТИЧЕСКОМ ИС-
ПОЛЬЗОВАНИИ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА, ЯВЛЯЕТСЯ ВЫБОР ФУНКЦИИ ЛЯПУ-
НОВА. ОБЩЕГО МЕТОДА ВЫБОРА ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА НЕ СУЩЕСТВУЕТ, НО ВСЕ ЖЕ
ИМЕЮТСЯ НЕКОТОРЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОСТАВЛЕНИЮ ЭТОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ
ИССЛЕДОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА СИСТЕМ. ЧАЩЕ ВСЕГО ЭТУ ФУНКЦИЮ
ВЫБИРАЮТ В ВИДЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ.
ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ КВАДРА-
ТИЧНЫЕ ФОРМЫ КООРДИНАТ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ НАХОДЯТСЯ СРАВНИ-
ТЕЛЬНО ЛЕГКО.
ПУСТЬ ДАНА СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
∑
=
=
n
j
jij
i
ya
dt
dy
1
, nij ...,,2,1, = (12.27)
И ПУСТЬ КОРНИ ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЛЕВЫЕ, Т.Е. ИМЕЮТ ОТ-
РИЦАТЕЛЬНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧАСТИ.
БУДЕМ ИСКАТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ
ji
l
,
КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
∑∑
==
=
n
i
n
j
jiij
yylyL
11
)(
,
jiij
ll = , (12.28)
ТАК, ЧТОБЫ ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ЭТОЙ ФОРМЫ
)(2
)(
1111
yGyayl
t
y
y
L
dt
ydL
n
i
n
i
n
j
n
k
kjkjij
i
i
−=
=
∂
∂
∂
∂
=
∑∑∑∑
====
(12.29)
БЫЛА ОПРЕДЕЛЕННО-ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ.
ДЛЯ ЭТОГО, СЛЕДУЯ ЛЯПУНОВУ, ЗАДАДИМСЯ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ
ФОРМОЙ
∑∑
==
=
n
i
n
j
jiij
yygyG
11
)(
, (12.30)
С КОЭФФИЦИЕНТАМИ
jiij
gg
=
.
ТАКУЮ ФОРМУ МОЖНО ВЫБРАТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ: ЗАДАЮТСЯ
n
ПРОИЗ-
ВОЛЬНЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
nn
ggg ...,,,
2211
И ЗАТЕМ ОПРЕДЕ-
ЛЯЮТ
...,...,,
121112 jjiiij
gggggg ==
. ТОГДА )( yG ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ПОЛНЫЙ КВАДРАТ
(
)
2
222111
...)(
nnn
ygygygyG +++=
И ЯВЛЯЕТСЯ ОПРЕДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ.
ЛЯПУНОВЫМ БЫЛО ДОКАЗАНО, ЧТО ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЧАСТЯХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВСЕГДА МОЖНО ЕДИНСТ-
ВЕННЫМ ОБРАЗОМ ПОДОБРАТЬ КОЭФФИЦИЕНТЫ ФОРМЫ, КОТОРАЯ БУДЕТ ОПРЕ-

Страницы