Основы теории автоматического управления - 220 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ДЕЛЕННО-ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ. ТАК КАК 0
<
dtdL , ТО
L
ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ ЛЯПУНО-
ВА.
ЛЯПУНОВ УКАЗАЛ СЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИИ V ДЛЯ ЛИНЕЙ-
НЫХ СИСТЕМ. БУДЕМ ИСКАТЬ ЛИНЕЙНУЮ ФОРМУ ПЕРЕМЕННЫХ
nn
yAyAyAU +++= ...
2211
, (12.31)
КОТОРАЯ УДОВЛЕТВОРЯЛА БЫ УСЛОВИЮ
∑
=
χ=
∂
∂
+++
n
i
i
nniii
U
y
U
yayaya
1
2211
)( K . (12.32)
Для нахождения коэффициентов
n
AAA ,,,
21
K подставим (12.31) в последнее выражение, в резуль-
тате получим
∑
=
++χ=+++
n
i
nninniii
yAyAAyayaya
1
112211
)()( KK .
Так как
n
yyy ,,,
21
K независимые переменные, то равенство может существовать лишь при условии,
что все коэффициенты при
n
yyy ,,,
21
K тождественно равны нулю. Находим
=χ−+++
=++χ−+
=+++χ−
.0)(
...
;0)(
;0)(
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
AaAaAa
AaAaAa
AaAaAa
K
K
K
(12.33)
Условием совместности этих
n
уравнений является равенство нулю определителя системы )0(
=
∆
,
где χ является корнем характеристического уравнения. Так как в общем случае их n , то можно найти n
значений для функции U , равных
n
UUU ,,,
21
K . Поскольку корни могут быть комплексными, т.е.
ijii
β+α=χ
,
ijii
β−α=χ
, то им соответствуют сопряженные значения функции
i
U и
i
U .
Составим далее функцию
n
n
UUUUUUV +++= K
2
2
1
1
, (12.34)
если
i
U окажется действительной величиной, возьмем
2
i
U . Таким образом получаем положительно-
определенную функцию, производная по времени которой будет
i
n
i
i
i
n
i
i
U
dt
Ud
U
dt
dU
dt
dV
∑∑
==
+=
11
, (12.35)
где
dt
dy
y
U
dt
dU
i
i
ii
∂
∂
=
.
Подставляя в (12.35) значение dtdy
i
из уравнения (12.27), в конечном итоге получаем
∑
=
α=
n
i
i
ii
UU
dt
dV
1
2 , (12.36)
где
i
α – действительные части корней.
Таким образом, указан способ построения функции Ляпунова для линейной системы.
Метод Г. Сеге
Согласно этому методу функция Ляпунова записывается в виде
∑∑
=
≠
=
+=
n
i
n
ji
j
jiiijiiij
yyyayyaV
12
2
)(2)( , (12.37)
где коэффициенты
ij
a являются функциями фазовых координат
i
y , т.е. )(
iij
ya .
Производная от функции Ляпунова по времени будет

Страницы