Основы теории автоматического управления - 222 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

dtdV / делается вывод об устойчивости системы автоматического управления по Ляпунову: система бу-
дет устойчивой, если получили, что 0),(
21
>yyV , а 0/
<
dtdV .
Метод Д. Шульца
Согласно этому методу функция Ляпунова записывается в виде
∫
∫∫ ∫
ξξ∇+
+ξξ∇+ξξ∇=∇=
−
2
12
0
121
00 0
2212111
,),,,,(
)0,,0,,()0,,0,(
y
nnnn
y
yy
T
dyyyV
dyVdVdyVV
K
KK
(12.43)
где V∇ – градиент функции Ляпунова, т.е.
{
}
n
yVyVV
∂
∂
∂
∂
=
∇
/,,/
1
K для системы уравнений n-го порядка,
который записывается в виде
+++
+++
+++
=∇
nnnnn
nn
nn
yayaya
yayaya
yayaya
V
K
K
K
2211
2222121
1212111
.........
(12.44)
Производная по времени от функции Ляпунова будет
d
t
dy
V
d
t
dV
T
∇= , (12.45)
где
T
V∇ – транспонированный столбец V∇ , т.е.
)./,,/,/(/
),,,(
21
22111212111
dtdydtdydtdydtdy
yayayayayayaV
n
nnnnnnn
T
K
KKK
=
++++++=∇
В такой постановке задачи о выборе функции Ляпунова определению подлежат коэффициенты
ij
a ,
при этом принимается условие, что
const==
jiij
aa
. Для определения коэффициентов записывается усло-
вие выполнения неравенства 0/ <dtdV , из которого составляется система уравнений, разрешаемая отно-
сительно
ij
a , ni ,1= ; nj ,1= . После определения коэффициентов записывается конкретное значение
функции Ляпунова и производится проверка условий 0),,,(
21
>
n
yyyV K , по результатам которой делает-
ся вывод об устойчивости рассматриваемой системы автоматического управления.
Метод Лурье – Постникова
Согласно этому методу функция Ляпунова для системы квазилинейных уравнений, т.е. уравнений,
содержащих линейную часть и аддитивно входящую нелинейность, записывается в виде:
∫
+=
y
nn
dyyfyyyVyyyV
0
21121
,)(),,,(),,,( KK (12.46)
где ),,,(
211 n
yyyV K – функция Ляпунова для линейной части, которая, как правило, пишется в виде квад-
ратичной формы; )( yf – нелинейность, имеющая место в системе.
Анализ устойчивости сводится к конкретной записи функции Ляпунова и ее производной с после-
дующей проверкой их знаков и применением теоремы об устойчивости.
Функция Ляпунова в виде (12.46) уже была использована в разделе 12.3.4 при рассмотрении общей
методики применения теоремы Ляпунова.
12.3.6 ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

Страницы