Основы теории автоматического управления - 224 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В соответствии с методом Д. Шульца градиент функции Ляпунова представляется в виде
.
222121
212111
α+α
α+α
=∇
yy
yy
V
Производная от функции Ляпунова ,
d
t
dV
V
d
t
dV
T
∇= или в соответствии с исходной системой
[]
[][]
.32)(2)(3
)()(
1222
2
21222111211
21121111
2
1
α+α−α+α−α−α−×
×+α−α−=
yyFyF
yyyFyFy
dt
dV
Положим 0
2112
=α=α , тогда
[]
.)(32)(
1221121
2
222
2
1111
yFyyyyyF
d
t
dV
α+α−+α−α−=
Если 0)(3
12111
=α−α− yF , то 0/ <dtdV .
Это возможно, если )(
3
1
22
11
yF
α
=α .
В соответствии с последним выражением градиент функции Ляпунова и ее производная запишутся в
виде
,
)(
3
222
11
22
α
α
=∇
y
yyF
V
.2
3
)(
2
222
2
11
2
22
y
yyF
d
t
dV
α−
α
−=
Согласно формуле (12.43) получим функцию Ляпунова
∫∫
ηηα+ξξξ
α
=
21
0
22
0
22
.)(
3
yy
ddFV
Приняв 6
22
=α , запишем
∫
+ξξξ=
1
0
2
2
3)(2
y
ydFV .
Если произведение XyyF =
11
)( находится в первом и третьем квадрантах, то функция Ляпунова по-
ложительно определенна, а ее производная отрицательно определенна, т.е. 0>V , 0/ <dtdV , но это и ука-
зывает на устойчивость рассматриваемой системы.
Пример 12.4 Найти условие устойчивости нелинейной системы автоматического регулирования,
описываемой системой уравнений
β−=
=+
),(
)(
);(
)(
21
2
21
1
yFcy
dt
tdy
ybFay
dt
tdy
с помощью второго метода Ляпунова.
Функция Ляпунова записывается в соответствии с методом Лурье – Постникова в виде
∫
ξξ+α=
2
0
2
1
,)(
y
dFyV
,0>
α
производная от этой функции
),()(22
2
2
12
2
1
yFyydFay
d
t
dV
β−+α−=
где cbd 2/1+α= .
Условие отрицательной определенности dtdV / записывается в виде 0>
β
,
()
022/
2
<βα−+ acdb . Для
того, чтобы последнее неравенство имело положительное решение 0>
α
, необходимо и достаточно вы-
полнение неравенства bca >β , которое обеспечивает положительность обоих корней уравнения
.04/)2(
222
=+αβ−α+α cbcb
Таким образом, если bca >β , то рассматриваемая система автоматического регулирования устойчи-
ва.
12.4 Критерий абсолютной устойчивости Попова

Страницы