Основы теории автоматического управления - 223 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример 12.2 Пусть нелинейная система автоматического управления описывается нелинейным
дифференциальным уравнением второго порядка
.0)(
)()(
3
2
2
=++ ty
dt
tdy
dt
tyd
Исследовать эту систему на устойчивость вторым методом Ляпунова, используя при построении
функции Ляпунова метод Г. Сеге.
Исходное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка следует привести к системе
дифференциальных уравнений первого порядка
−−=
=
).()(
)(
);(
)(
2
3
1
1
2
1
tyty
dt
tdy
ty
dt
tdy
Согласно методу Г. Сеге функция Ляпунова имеет вид
.)(2)(
2
21112
2
1111
yyyayyaV ++=
Производная от нее с учетом системы дифференциальных уравнений
.22)(2)(2)(2
)(
2)(2
)(
2
3
1
2
2
4
111221112
2
2112
2
21
1
112
211112
2
1
1
111
yyyyyayyyayya
yy
dy
yda
yyyayy
dy
yda
dt
dV
−−−−+
+++=
Образуем функцию
021
2
22
)( AyAyAy ++=ψ из производной dtdV / по степеням
2
y , сравнивая выраже-
ния
dtdV / и )( yψ , получим
−+= 1)(
)(
2
1121
1
112
2
yay
dy
yda
A ;
3
111121
1
112
11111
1
111
1
2)(
)(
2)(2
)(
yyyay
dy
yda
yyay
dy
yda
A −
+−
+= ;
.)(
)(
2
4
11121
1
112
0
yyay
dy
yda
A
+−=
Для получения устойчивости во всей области ),(
21
yy необходимо, чтобы коэффициенты 0
21
=
=
AA ,
что приводит к системе дифференциальных уравнений относительно )(
111
ya и )(
112
ya :
=+
+=+
.1)(
)(
);1(2)(2
)(
1121
1
111
2
11111
1
111
yay
dy
yda
yyay
dy
yda
Решение первого уравнения, т.е. )(
111
ya ищется в виде
.)(
2
1111
β+α= yya
Подставив это решение в уравнение, получим
.22222
2
1
2
1
2
1
yyy +=β+α+α
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях
1
y , определим значения коэффициентов
2/1=α ,
1=β
.
Решением второго уравнения является
γ
=
)(
112
ya , 1
=
γ
.
Подставим найденные значения
11
a и
12
a в функцию Ляпунова и ее производную
,2
2
1
2
221
2
1
4
1
yyyyyV +++= ,2
4
1
y
d
t
dV
−=
видно, что 0/ <dtdV при любых значениях
1
y . А это и указывает на устойчивость рассматриваемой сис-
темы автоматического управления по Ляпунову.
Пример 12.3 Исследовать устойчивость нелинейной системы, динамика которой описывается
системой уравнений
+−=
−−=
,)(2
)(
;)(3
)(
112
2
112
1
yyFy
dt
tdy
yyFy
dt
tdy
используя второй метод Ляпунова и форму Д. Шульца при построении функции Ляпунова.

Страницы