Основы теории автоматического управления - 225 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Большие возможности для исследования устойчивости и даже качества нелинейных систем открыва-
ет предложенный в 1960 году румынским ученым Пóповым критерий абсолютной устойчивости,
особенно его геометрическая трактовка, позволяющая привлечь к исследованию рассматриваемого
класса нелинейных систем частотные методы.
Рассматривается нелинейная система, на которую действует конечного вида произвольное воздей-
ствие )(tf , ограниченное лишь тем, что оно считается исчезающим, т.е.
0)(lim =
∞→
tf
t
(рис. 12.7).
Пусть линейная часть системы описывается передаточной функцией )(sW , а во временной области –
весовой функцией )(tw , нелинейный элемент характеризуется статической характеристикой
[
]
)()( txty
Φ
=
.
f(t)
x
НЭ
W(s)
y
- z(t)
Рис. 12.7 Нелинейная система с исчезающим воздействием
Вся нелинейная система в интегральной форме описывается уравнением
[]
,)()()()()()(
0
∫
ττΦτ−−=−=
t
dxtwtftztftx (12.47)
изображение по Лапласу которого
[
]
{
}
)()()()( txLsWsfsx
Φ
−
= .
Состояние равновесия 0
=
x будет устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угодно малого
положительного ε существует другое положительное )(
ε
η
такое, что при
0
)(sup η=tf ,
η
<
η
0
имеет ме-
сто неравенство ε≤)(tx . Если
η
неограниченно, имеет место устойчивость в целом.
Абсолютной устойчивостью равновесия называется устойчивость в целом, имеющая место для
всех характеристик )(xΦ , принадлежащих к определенному классу.
Будем рассматривать устойчивость для характеристик )(x
Φ
, лежащих в углу α, т.е. принадлежащих
подклассу ),0( k (рис. 12.8).
Если равновесие абсолютно устойчиво, то оно абсолютно устойчиво и для всех прямолинейных ха-
рактеристик hxy = , где ,0 kh ≤≤ поскольку эти прямые относятся к данному подклассу.
Исходная нелинейная система (рис. 12.7) представляет собой по своей структуре замкнутую систе-
му, в которой нелинейный элемент охвачен отрицательной
обратной связью с линейным звеном )(sW . Если провести ли-
неаризацию нелинейной характеристики
))(( txΦ , то получен-
ную уже замкнутую линейную систему можно исследовать на
устойчивость с помощью частотного критерия Найквиста.
Рассмотрим основной случай, когда линейная часть
системы устойчива, т.е. ее характеристическое уравнение
не имеет правых корней или тоже самое, что
)(sW не имеет
правых полюсов и тогда годограф вектора разомкнутой
системы линеаризованной характеристики )(
ω
ihW не пере-
секает отрезка )1,(
−
−
∞ действительной оси. В соответствии
с критерием Найквиста этого условия достаточно, чтобы
замкнутая линейная система была устойчива. Так как kh
≤
≤
0 , то достаточным условием устойчивости
всех линейных систем из подкласса ),0( k будет условие, чтобы )(
iW не пересекала отрезка действи-
тельной оси )/1,( k−−∞ .
Можно показать, что это условие необходимо и достаточно. Действительно, пусть линейная часть
устойчива, но
)( ωiW
пересекает четное число раз отрезок
)/1,( k
−
−
∞
. Изменяя h в пределах от 0 до k ,
тем самым перемещается правая граница критического отрезка, причем значению
0=h соответствует
точка
−∞ , а kh = – k/1− . Всегда можно выбрать h внутри заданных границ так, чтобы правая граница
критического отрезка попала в любую точку отрезка
)/1,( k
−
−
∞
.
y
x
α
= arctgk
y = k x
0
Рис. 12.8 Класс нелинейных
характеристик

Страницы