Основы теории автоматического управления - 227 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

V
*
U
*
а) б)
V
*
U
*
-
1
k
-
1
k
Рис. 12.9 Геометрическая трактовка абсолютной устойчивости системы:
а – устойчивая систем; б – неустойчивая
т.е. нелинейная характеристика должна укладываться в углу, ограниченном прямыми с угловыми коэф-
фициентами
r
и rk + . При этом
r
выбирается так, чтобы )(1
ω
+
irW имела все нули в левой полуплоско-
сти, а
()
ωiW
1
– видоизмененная характеристика линейной части
.
)(1
)(
)(
1
ω+
ω
=ω
irW
iW
iW
Между критерием абсолютной устойчивости Попова и вторым методом Ляпунова существует глу-
бокая связь. Было доказано, что если выполняется условие абсолютной устойчивости Попова, то суще-
ствует типовая функция Ляпунова – квадратичная форма плюс нелинейность, причем условие
0))(Re( >ωiП является необходимым и достаточным.
Пример 12.5 Нелинейная система второго порядка имеет линейную часть, описываемую уравне-
нием
.
2
1
)(
2
00
2
ω+ω+
=
shs
sW
Требуется определить, при каких значениях k система будет абсолютно устойчива, если характери-
стика нелинейного элемента лежит в секторе
(
)
k,0 .
Видоизмененная характеристика линейной части будет
() ()
.
4
2
4
)(
22
0
2
2
22
0
2
0
22
0
2
2
22
0
22
0
*
ωω+ω−ω
ωω
−
ωω+ω−ω
ω−ω
=ω
h
h
h
iW
Анализ этой характеристики показывает, что при всех
ω
мнимая часть характеристики отрицатель-
на, а это говорит о том, что вся характеристика
(
)
ωiW
*
лежит в
нижней полуплоскости (рис. 12.10).
При частотах
0
=
ω
, 1
=
ω
, ∞
=
ω
она имеет общие точки с
характеристикой )(
ω
iW .
Касательная к кривой АФХ
()
ωiW
*
в начале координат
проходит под углом
(
)
0
2arctg
ω
h к вещественной оси. Сама кри-
вая
()
ωiW
*
лежит правее этой касательной, поэтому всегда
можно провести прямую Попова через точку k/1− под неко-
торым углом
α
(рис. 12.10). Система абсолютно устойчива
при всех k и для всех однозначных нелинейных характери-
стик, принадлежащих сектору
(
)
∞
,0 .
12.5 Тренировочные задания
1 В нелинейных системах исследуется устойчивость движения. Различают возмущенное движение
и невозмущенное движение. Основными видами устойчивости движения являются понятия устойчиво-
U
*
arctg 2
h
ω
0
i V
*
-
1
k
Рис. 12.10 Видоизмененная
А
ФХ

Страницы