Основы теории автоматического управления - 228 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

сти движения по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Кроме того для нелинейных систем суще-
ствуют такие понятия, как устойчивость в "малом" и устойчивость в "большом".
Для исследования устойчивости в "малом" используется первый метод Ляпунова, который позволя-
ет судить об устойчивости нелинейной системы по линейной системе первого приближения.
А Какое движение называется возмущенным движением и какое движение называется невозму-
щенным движением?
В Какой смысл имеет понятие устойчивости движения системы по Ляпунову и чем оно отличается
от асимптотической устойчивости?
С Какие теоремы были доказаны Ляпуновым в первом методе исследования устойчивости в "ма-
лом" состояния равновесия нелинейной системы.
2 Как известно, достаточные условия устойчивости нелинейных систем дает второй метод Ляпуно-
ва, позволяющий исследовать устойчивость в "большом". Согласно этому методу в рассмотрение вводит-
ся функция )...,,,(
21 n
yyyV , заданная в фазовом пространстве и обладающая следующими свойствами: не-
прерывна со всеми своими частными производными в некоторой открытой области, содержащей начало
координат; при 0...
21
=
===
n
yyy – )...,,,(
21 n
yyyV = 0; внутри рассматриваемой области V является знако-
определенной функцией, т.е. 0>V или 0<V .
А. М. Ляпуновым были сформулированы три теоремы: об устойчивости, об асимптотической устой-
чивости и о неустойчивости. Так для доказательства асимптотической устойчивости строится и исследу-
ется производная по времени функции Ляпунова, которая в силу системы дифференциальных уравнений,
описывающих нелинейную систему, должна быть знакоопределенной функцией противоположного с V
знака.
Если найти такую функцию V удастся, то устойчивость нелинейной системы будет доказана, при-
чем устойчивость в "большом". Единого подхода к построению функции )...,,,(
21 n
yyyV не существует,
но имеются рекомендации по составлению этой функции для исследования определенного класса сис-
тем.
А Какая теорема физики лежит в основе второго метода Ляпунова?
В Какими свойствами должна обладать функция Ляпунова и ее производная по времени, чтобы не-
линейная система была устойчива ?
С Как Вы объясните, что второй метод Ляпунова дает устойчивость нелинейной системы в "боль-
шом"?
3 Для исследования устойчивости определенного класса нелинейных систем применяют критерий
абсолютной устойчивости. Этот критерий относится к группе частотных критериев устойчивости. Рас-
сматриваемая нелинейная система представляет собой замкнутую систему и состоит из линейной части,
характеризуемой амплитудно-фазовой характеристикой
(
)
ω
iW , и нелинейного элемента со статической
характеристикой
)(xΦ из подкласса ),0( k , т.е. kxx
≤
Φ
≤
/)(0 , стоящего в отрицательной обратной связи.
Для устойчивости состояния равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью дос-
таточно выполнения условия, что действительная часть функций Попова
)( ω
Π
i положительна.
А Как Вы понимаете абсолютную устойчивость?
В Что представляет собой видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика линейной части, и
как последняя связана с исходной?
С Дайте геометрическую трактовку критерия абсолютной устойчивости.
12.6 Тест
1 Для асимптотической устойчивости необходимо, чтобы при
∞
→
t
А
.||)()(||
*
ε<− tyty
В .||)()(||
*
ε>− tyty
С
.0||)()(||
*
→− tyty

Страницы