Основы теории автоматического управления - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если характеристика )(
ω
iW пересекает четное число раз отрезок )/1,( k
−
−
∞ , то выберется значение h
так, чтобы число пересечений стало на единицу меньше, но тогда замкнутая система становится неус-
тойчивой. Таким образом, чтобы замкнутая система оставалась устойчивой при любых h , заключенных
в пределах kh ≤≤0 , необходимо и достаточно, чтобы
)(
ω
iW
нигде не пересекала отрезок )/1,( k
−
−
∞ оси
абсцисс.
Для произвольной нелинейной функции из подкласса ),0( k достаточное условие абсолютной устой-
чивости было сформулировано Поповым и выглядит следующим образом.
Для того, чтобы положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью было
устойчиво, достаточно выполнение следующих условий:
1 Существует такое действительное число
α
, при котором действительная часть функции Попова
()
ωiП была положительна
() ( )()
[]
.0/11ReПRe >+ω
α
ω+=ω kiWii (12.48)
2 Функция )(xΦ принадлежит подклассу ),0( k , т.е. kxx
≤
Φ
≤
/)(0 .
Доказательство этой теоремы не приводится, но рассматривается геометрическая трактовка. Для
этого вводятся следующие характеристики видоизмененной частотной характеристики линейной части
()
ωiW
*
, связанной с исходной
()
ωiW соотношениями:
() ()
() ()
,ImIm
;ReRe
*
*
ωω=ω
ω=ω
iWiW
iWiW
(12.49)
т.е. действительная часть видоизмененной характеристики равна действительной части исходной, а
мнимая равна мнимой части исходной, умноженной на
ω
. Так как
(
)
0Im =
ω
iW и
()
0Im
*
=ωiW одновре-
менно, то точки пересечения действительных характеристик совпадают. Действительная и мнимая час-
ти видоизмененной характеристики
()
ωiW
*
являются четными функциями ω. Если степень числителя
()
ωiW не выше степени знаменателя и
()
ω
iW имеет не более одного полюса в начале координат, то при
∞→ω
()
ωiW
*
Re
и
()
ωiW
*
Im
стремятся к конечным пределам и характеристика
()
ωiW
*
лежит в конечной
части плоскости целиком.
Пусть
(
)
(
)
() ()
,)(
;)(
***
ω+ω=ω
ω
+
ω
=
ω
jVUiW
iVUiW
тогда
()
[]
0/1)()(/1)(1Re >
+
ωαω−ω
=
+ωαω+ kVUkiWi (12.50)
или
.0/1)()(
**
>+ωα−ω kVU
Критическим случаем является случай, когда
,0/1)()(
**
=+ωα−ω kVU
который дает в координатах
**
, VU уравнение прямой линии, касающейся характеристики
(
)
ωiW
*
. Пря-
мая проходит через точку
),/1( ω− ik и имеет угловой коэффициент
/1 .
Когда
0/1)()(
**
>+ωα−ω kVU ,
()
ωiW
*
лежит в части плоскости, включающей начало координат, т.е.
правее прямой.
Таким образом, для абсолютной устойчивости равновесия достаточно, чтобы на плоскости видоиз-
мененной частотной характеристики
()
ωiW
*
линейной части системы можно было провести прямую че-
рез точку
()
0,/1 ik− так, чтобы
()
ωiW
*
целиком располагалась справа от этой прямой (рис. 12.9, а).
На рис. 12.9, б приведен случай, когда отделяющую прямую построить нельзя и судить об устойчи-
вости также нельзя.
Критерий Попова распространен также на системы с неустойчивой или нейтральной линейной ча-
стью. В этом случае должны выполняться условия
;0/1)()1Re(
1
>+ωαω+ kiWi ,/)( rkxxr
+
<
Φ< (12.53)

Страницы