Основы теории автоматического управления - 221 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.)()(
)(
2)(2
)(
12
2
++×
×++
=
∑∑
=
≠
=
dt
dy
yyay
dt
dy
ya
dt
dy
yy
dy
yda
dt
dy
ya
dt
dy
y
dy
yda
dt
dV
j
iiijj
i
iij
i
ji
n
i
n
ij
j
i
iij
i
iii
i
i
i
iii
(12.38)
Работу метода Г. Сеге удобнее проследить на примере систем второго порядка. В этом случае
(12.37) примет вид
2
222221112
2
1111
)()(2)( yyayyyayyaV ++= . (12.39)
Определению подлежат коэффициенты )(
111
ya , )(
112
ya , )(
222
ya . Принимается, что 1)(
222
=
ya , тогда
2
221112
2
1111
)(2)( yyyyayyaV ++= ,
и, следовательно, производная (12.38) записывается следующим образом
.2)(2)(2
)(
2)(2
)(
2
2
2
11122
1
112
1
21
1121
111
1
2
1
1
111
d
t
dy
y
d
t
dy
yyay
d
t
dy
ya
dt
dy
yy
dt
yda
dt
dy
ya
dt
dy
y
dy
yda
dt
dV
+++
+++=
(12.40)
Так как исходная нелинейная система второго порядка записывается в виде
=
=
),,(
)(
);,(
)(
212
2
211
1
yyF
dt
tdy
yyF
dt
tdy
,
то производная от функции Ляпунова в силу этих дифференциальных уравнений будет
).,(2),()(2
),()(2),(
)(
2
),()(2),(
)(
2122211112
212111221121
1
112
2111111211
2
1
1
111
yyyyyyFya
yyFyyayyFyy
dy
yda
yyFyyayyFy
dy
yda
dt
dV
++
+++
++=
(12.41, а)
Предположим, что правая часть производной функции Ляпунова представляет собой полином второ-
го порядка относительно y
k
)()()(),(
10211
2
21221
yAyyAyyAyy ++=ψ , (12.41, б)
где
210
,, AAA – полиномы, зависящие от
1
y .
Для обеспечения устойчивости во всей области ),(
21
yy необходимо потребовать, чтобы уравнение
0),(
21
=ψ yy имело кратные корни, условием которого является равенство нулю дискриминанта:
04
02
2
1
=− AAA .
Согласно методу Г. Сеге принимается 0
12
=
=
AA и на основании этого составляется система диффе-
ренциальных уравнений для определения коэффициентов
1211
, aa :
=
=
.0)),(,
)(
(
;0)),(,
)(
(
1112
1
112
2
1111
1
111
1
yya
dy
yda
f
yya
dy
yda
f
(12.42)
Далее необходимо решить систему дифференциальных уравнений (12.42) относительно
1211
, aa .
Найденные значения коэффициентов подставляются в выражение для функции Ляпунова и ее произ-
водной, после чего проверяется знакоопределенность функции ),(
21
yyV и определяется знак производ-
ной dtdV / . На основании полученных результатов о знакоопределенности функции ),(
21
yyV и знаке

Страницы