Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Sledstvie (Podstanovka formul v ravenstva). Osnovnye sootno-
xeni vypolnts, esli vmesto peremennyh
a, b, c podstavit~
formuly lbyh bulevyh funkci$i.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Pust~
a
= f(x
), b = g
(x
), c
= h
(
x)
. Pri
tabliqnom dokazatel~stve lbogo iz ravenstv teoremy snaqala
vyqislts znaqeni peremennyh
a, b, c, a zatem znaqeni
levo$i i pravo$i qaste$i ravenstva. Poskol~ku ravenstvo vypoln-
ets pri vseh soqetanih znaqeni$i
a, b, c, to ono vypolnets
i v dannom sluqae. J
V silu associativnosti operaci$i
∨,
∧, ⊕
, ∼ vyraeni
a
1
∨
a
2
∨···∨
a
n
,
a
1
∧a
2
∧···∧a
n
,
a
1
⊕
a
2
⊕···⊕
a
n
,
a
1
∼ a
2
∼ ··· ∼
a
n
prinimat odno i to e znaqenie pri lbo$i rasstanovke sko-
bok vnutri nih i potomu ti vyraeni uslovims zapisyvat~
bez skobok. Vvedem sokrawennye oboznaqeni:
n
_
i=1
a
i
a
1
∨ ··· ∨ a
n
,
n
^
i
=1
a
i
a
1
∧···∧
a
n
,
n
M
i=1
a
i
a
1
⊕ ··· ⊕ a
n
.
Sootnoxeni s oboznaqenimi
n
_
i
=1
a
i
,
n
^
i=1
a
i
,
n
M
i=1
a
i
pri natu-
ral~nom n
dokazyvats metodom matematiqesko$i indukcii.
Kommutativnost~ operaci$i ∨,
∧
, ⊕
pozvolet vvesti bolee
obwie oboznaqeni
_
a
i
∈M
a
i
,
^
a
i
∈M
a
i
,
M
a
i
∈M
a
i
, gde
M — nepus-
toe koneqnoe mnoestvo. Esli M pusto (
M
=
∅), to poloim
_
a
i
∈∅
a
i
0 ,
^
a
i
∈
∅
a
i
1 ,
M
a
i
∈
∅
a
i
0.
Pust~
Γ
— koneqny$i ili pusto$i spisok (mnoestvo) for-
mul funkci$i algebry logiki. Simvolom
V
Γ
oboznaqaets
konnkci vseh formul spiska
Γ .
Pri razliqnyh
a, b, c netrudno dokazat~ neravenstva:
(
a\b)
\
c 6
=
a
\
(
b
\
c)
, (
a
→
b) → c
6
= a →
(
b → c
), (a
|b
)
|
c 6
= a|
(
b
|c
)
,
(a
↓
b)↓c
6
=
6
=
a↓
(b↓
c
)
, oznaqawie neassociativnost~ operaci$i
\,
→
,
|
, ↓
.
Potomu, vyraeni
a\b
\
c, a → b
→
c, a|b
|c, a↓b
↓c
sleduet sqi-
tat~ nekorrektnymi, tak kak v nih otsutstvut skobki, ukazy-
vawie na pordok vypolneni operaci$i.
Dl sokraweni dokazatel~stv, predstavlennyh v vide posle-
dovatel~nosti sootnoxeni$i:
F
1
s
1
F
2
, F
2
s
2
F
3
,
. . .
, F
n
s
n
F
n+1
,
v kotorye vhodt formuly F
i
svzannye logiqeskimi znaka-
mi s
i
=
→ ili
s
i
=∼, ti dokazatel~stva budut simvoliqeski
zapisyvat~s sleduwim obrazom [F
1
]s
1
[
F
2
]
s
2
, . . . , s
n
[
F
n
].
9

Страницы