Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

gde {
f = 1
}, {
f
= 0} — mnoestva vektorov x takih, qto
f(x
) = 1
i f
(
x
) = 0
, sootvetstvenno.
D o k a z a t e l ~ s t v o . sno, qto
{1 = 0} = {
0 = 1
} =
∅
. Potomu
ravenstvo 1 pri
f
= 0 i ravenstvo 2 pri
f
= 1 spravedlivy
po opredeleni. Dokaem 1 i 2 dl ostal~nyh funkci$i.
1. Esli
x takovo, qto
f
(
x
) = 1, to x ∈{f
=1
} i v pravo$i
qasti 1 imeets lementarna konnkci c
x
(
x
) = 1, obrawa-
wa pravu qast~ v edinicu. Esli x
takovo, qto
f
(
x) = 0,
to x /
∈ {
f = 1
}
i v pravo$i qasti 1 vse c
a
(
x
) = 0 i potomu
prava qast~ obrawaets v nul~.
2. Esli
x
takovo, qto
f
(
x) = 0, to
x
∈{
f =0
}
i v pravo$i
qasti 2 imeets lementarna diznkci
d
x
(
x) = 0
, obrawa-
wa pravu qast~ v nul~. Esli
x
takovo, qto
f
(
x
) = 1
, to
x /
∈{f
=0}
i v pravo$i qasti 2 vse d
a
(x) = 1 i potomu prava
qast~ obrawaets v edinicu.
3. Pervye dva ravenstva sledut iz 1, 2 i opredeleni
1.5, a tret~e sleduet iz 1, punkta 3 teoremy 1.4 i ravenstv
x
a
= (
x ∼ a) = x⊕
y
= (x⊕
a
⊕1)
.
J
Iz dokazanno$i teoremy sleduet, qto mnoestva funkci$i
{∨,
∧,
}, {∨
,
}, {∧
,
}, {⊕
,
∧
,
1
}
polny.
Teorema 1.6 (Bazisy).
Sleduwie mnoestva funkci$i vlts
bazisami: 1) {∨, } — diznktivny$i bazis,
2) {∧
, } — konn-
ktivny$i bazis,
3) {⊕
,
∧, 1} — bazis egalkina,
4)
{↓}
— bazis
Pirsa, 5)
{|}
— bazis Xeffera.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Minimal~nost~ {∨,
}
,
{∧, }
sleduet iz
togo, qto s pomow~ tol~ko
nevozmono poluqit~ konstanty,
a s pomow~ tol~ko
∧
ili
∨
nevozmono poluqit~ otricanie.
Polnota {↓}
, {|} vytekaet iz polnoty
{∨
,
}
, {∧
, }
i osnovnyh
sootnoxeni$i 44 — 47. Minimal~nost~ oqevidna. J
1.3. Bulevy algebry
Opredelenie 1.7 (Buleva algebra). Bulevo$i algebro$i nazyvaets
mnoestvo A
, v kotorom imeets po kra$ine$i mere dva razliq-
nyh lementa 0
i 1
, zadany dve binarnye operacii ∨, ∧ i odna
unarna operaci , udovletvorwie osnovnym sootnoxenim
1 — 19 (aksiomam bulevo$i algebry
). Operacii →
, \
, ↓
, |
,
⊕
,
∼
v A opredelts osnovnymi sootnoxenimi 20 — 25. Dvo$is-
tvennost~ v A formuliruets tak e, kak v opredelenii 1.3.
Teorema 1.7 (Edinstvennost~ nul i edinicy bulevo$i algebry).
V lbo$i bulevo$i algebre lementy 0 i 1
edinstvenny.
11

Страницы