Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Primer 1.4 (Buleva algebra B
(B
n
)
). Mnoestvo B
(
B
n
)
,
sosto-
wee iz vseh bulevyh funkci$i n peremennyh, v silu sledstvi
teoremy 1.3 vlets bulevo$i algebro$i s nulem — f
(
x
) = 0
i edinice$i —
f
(
x) = 1
. ta buleva algebra svobodna, pos-
kol~ku ona porodaets nezavisimym mnoestvom koordinatnyh
funkci$i δ
i
(x) =
x
i
, i
= 1, . . .
, n, o qem svidetel~stvuet predstav-
lenie f
∈
B
(
B
n
)
v vide SDNF ili SKNF.
Opredelenie 1.10 (Izomorfnye bulevy algebry).
Bulevy algeb-
ry
A
i B nazyvats izomorfnymi, esli suwestvuet vzaimno
odnoznaqna funkci
F
(
izomorfizm
)
, otobraawa A
na B
taka, qto
F
(
x ∨
y) =F
(x
)
∨
F
(y)
, F (x
∧
y
)=F
(x)
∧F
(
y
)
, F (
x)=F (
x).
Privedem bez dokazatel~stva utverdenie, svodwee izuqe-
nie koneqnyh svobodnyh bulevyh algebr k izuqeni bulevo$i
algebry B
(B
n
)
pri nekotorom
n.
Teorema 1.10 (Ob izomorfizmah svobodnyh bulevyh algebr).
Lbye svobodnye bulevy algebry A
1
i
A
2
s nezavisimymi mno-
estvami
n obrazuwih X
1
i X
2
izomorfny. Vskoe vzaimno
odnoznaqnoe otobraenie
X
1
na X
2
moet byt~ odnoznaqno
prodoleno do izomorfizma
A
1
na A
2
.
V lbo$i bulevo$i algebre mono vvesti neravenstvo 6
.
Lemma (K vvedeni otnoxeni
6
).
V bulevo$i algebre ravenstva
a=
a
∧b, b=
a
∨ b, a→
b=1, a\
b=0
ravnosil~ny.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli
a
= a
∧
b
, to b = b
∨
(a∧
b
) = a ∨
b. Esli
b
= a
∨ b
, to
a
→ b =
a ∨
b
= a ∨
a
∨
b
= 1. Esli a → b = 1
, to
a\
b =
a →
b = 0. Esli a
\
b
= 0, to a
∧
b
=
a
∧
(a ∨
b) = a∧
a\
b = a.
J
Opredelenie 1.11 (Otnoxenie 6 v bulevo$i algebre). Otnoxe-
nie a
6
b, opredelemoe lbym iz ravenstv lemmy, qitaets
:
”lement
a
vlets podlementom lementa b”.
Teorema 1.11 (Svo$istva otnoxeni
6 ). 1) 0
6a61 ; 2) a
6a ;
3)
esli a
6b
i
b6a
, to a
= b ; 4) esli a6
b i b6c
, to a6
c ;
5)
esli a
6b, to
:
b6a , a∧
c6
b
∧
c , a ∨
c
6b
∨ c
.
D o k a z a t e l ~ s t v o . Svo$istva 1, 2, 3 oqevidny.
4. Esli
a6
b i
b
6c, to
a =
a∧b, b = b∧
c, a = a∧b
= a∧
(b∧c) =
=(
a∧b)∧c
=a∧c, t. e.
a6c
.
5.
[a
6b
]∼
[
a
=
a∧
b
]∼
[
a
∨
b
=
a
]
∼
[
b
6
a
]
.
[
a
6
b
]∼[a
=a∧
b
]→
[a
∧
c=a
∧b
∧c=(a∧c
)∧(b∧
c)]∼
[(a∧c)6(b
∧c
)].
[a
6
b]
∼[b=
a
∨
b
]→[b
∨c=
a
∨b
∨c
=(
a∨c
)∨
(b∨c)]∼
[(a∨c)
6(b
∨c). J
13

Страницы