Логика. Множества. Вероятность. Лексаченко В.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

D o k a z a t e l ~ s t v o . Esli imets razliqnye nuli edinicy:
0
1
, 0
2
,
1
1
, 1
2
, to iz osnovnyh sootnoxeni$i 1, 2, 15, 16 sleduet:
0
1
=0
1
∨0
2
=0
2
∨0
1
=0
2
,
1
1
=1
1
∧1
2
=1
2
∧
1
1
=1
2
. J
Teorema 1.8 (Osnovnye sootnoxeni bulevo$i algebry). V lbo$i
bulevo$i algebre vypolnts osnovnye sootnoxeni 26 — 47.
D o k a z a t e l ~ s t v o . V silu principa dvo$istvennosti dosta-
toqno dokazat~ tol~ko ravenstva 26, 29, 30, 32, 34, 36, 38, 40,
42, 44, 46. Ravenstva 30, 36, 38, 40 sledut iz 24; 44 — iz
22; 46 — iz 22, 44. Dokazatel~stvo 32:
(
a ⊕b
) ⊕
c = (((
a ∨
b
)
∧
(a ∨
∨
b))
∨c)
∧((a
∧
b)
∨ (
a∧
b) ∨
c) = (
a ∨b
∨c)∧(a ∨b ∨
c)∧
(a ∨
b ∨
c)
∧(a
∨b ∨c) =
= (a ∨
((b
∨ c)
∧(b ∨ c))
∧(
a ∨ (b
∧
c)
∨ (
b∧
c)) = a ⊕ (
b
⊕
c
). Ravenstva 29
sledut iz 24, 25, 30, 32, 36. Dokazatel~stvo 26: a⊕b
= ((a∨b
)∧
∧a
)
∨
((a
∨ b
)
∧b
) = (
b
∧
a
)
∨
(a
∧b
) = (
a
\b
) ∨
(
b
\a). Dokazatel~stvo 34:
(
a
∧c) ⊕
(b
∧
c
) = ((a
∧c)
∨
(
b∧
c
))
∧(
a∧
c
∨ b∧
c
) = (a
∨
b
)∧
c
∧(
a ∨ b ∨ c) =
= ((
a ∨
b)∧
(
a ∨ b))∧c
= (a ⊕
b)
∧c
. Dokazatel~stvo 42: a
⊕
b
⊕
(a
∧
b) =
= a ⊕ (
a∧b
) = (
a
∨
(a∧b
))
∧
(
a ∨ a∧b
) = (
a
∨
b
)
∧(a ∨ a
∨
b) = a
∨
b
.
J
Primer 1.2 (Bulevy algebry B
, B
M
). Mnoestvo B s operaci-
mi ∨,
∧
,
⊕ vlets bulevo$i algebro$i. Mnoestvo B
M
vseh fun-
kci$i, opredelennyh na mnoestve M
i prinimawih znaqeni
iz B
(logiqeskih funkci$i), vlets bulevo$i algebro$i s ope-
racimi: (a ∨
b
)(x)
a(x
) ∨ b(
x)
,
(
a∧
b)(x
)
a(
x
)
∧b
(
x),
a(
x
)
a(
x
)
,
nulem — funkcie$i 0(
x)
0 i edinice$i — funkcie$i
1(
x
)
1
.
Primer 1.3 (Buleva algebra mnoestv
P(
M
)).
Mnoestvo P
(M)
vseh podmnoestv mnoestva
M
s operacimi ∪
, ∩, vlets
bulevo$i algebro$i s nulem — ∅ i edinice$i — M .
Opredelenie 1.8 (Bulevy podalgebry).
Podmnoestvo B
bu-
levo$i algebry A
, vlwees bulevo$i algebro$i s takimi e
operacimi, 0 i 1 kak v A
nazyvaets podalgebro$i algebry
A
.
Teorema 1.9 (Podalgebra, porodenna mnoestvom).
Pust~
A
— buleva algebra,
X⊆
A
. Naimen~xa soderawa
X
podalgebra
A
(
X)
sostoit iz DNF (KNF) ot lementov mnoestva X .
Pri tom X
nazyvaets mnoestvom obrazuwih dl A(X).
Bez dokazatel~stva.
Opredelenie 1.9 (Svobodnye bulevy algebry). Mnoestvo ob-
razuwih
x
1
, . . .
, x
n
koneqno$i bulevo$i algebry nazyvaets nezavi-
simym, esli
T
n
i=1
A
a
i
i
6= ∅ dl lbyh
a
∈ B
n
. Buleva algebra s
nezavisimym mnoestvom obrazuwih nazyvaets svobodno$i.
12

Страницы