Электричество и магнетизм. - 37 стр.

                               38

                                   Построим на этой площадке,
                        u    как на основании, прямоугольный
                             параллелепипед с высотой, чис-
                             ленно равной значению скорости
                             v (рис.4.2). Число частиц, которые
          u         S=1
                             пройдут через поверхность S за
           Рис.4.2           одну секунду равно числу частиц,
                             находящихся в этом параллелепи-
педе. Пусть n − концентрация носителей тока в проводнике, то-
гда число носителей в выделенном объеме N=nuS=nu. Отсюда
j=Nq=nqu, или
                              r     r
                              j = nqu .                    (4.4)
4.1.3.    Уравнение непрерывности
     Пусть S − замкнутая поверхность, а векторы dS ориентиро-
ваны наружу rотrповерхности. Поток вектора j сквозь поверхность
S будет I = ∫ j dS = ∫ jn dS .
           S

     В соответствии с законом сохранения заряда суммарный
электрический заряд q, охватываемый поверхностью S, за время
dt изменяется на dq=−Idt, откуда
                      r r        dq       d
                    ∫ j dS == − = − ∫ ρdV .
                    S             dt      dt V
     Если поверхность S стационарна, то порядок дифференци-
рования и интегрирования в последнем выражении можно поме-
нять местами. Тогда получаем
                               r r        dρ
                             ∫ j dS = − ∫ dV             (4.5)
                             S          V  dt
     Уравнение (4.5) выражает закон сохранения заряда и назы-
вается уравнение непрерывности в интегральной форме.
     Также несложно показать, что выполняется соотношение
                                     r     ∂ρ
                                  divj = − ,             (4.6)
                                            ∂t